Урок: 10 клас. Геометрія. Урок 54. Кут між векторами. Скалярний добуток векторів

Кут між векторами. Скалярний добуток векторів

Величину кута AOB називатимемо кутом між векторами $\overrightarrow{a}$ і $\overrightarrow{b}$.

Кут між векторами a і b позначають так: $\angle\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)$, .

Коли $\overrightarrow{a}\uparrow\downarrow\overrightarrow{b},$ то $\angle(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=180\degree$

Якщо $\overrightarrow{a}\uparrow\uparrow\overrightarrow{b},$то вважають, що$\angle(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=0\degree.$

Якщо хоча б один із векторів $\overrightarrow{a}$ або $\overrightarrow{b}$ нульовий, то також вважають, що $\angle(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=0\degree.$

Вектори $\overrightarrow{a}$ і $\overrightarrow{b}$ називають перпендикулярними, якщо кут між ними дорівнює 90°. Записують: $\overrightarrow{a}\bot\overrightarrow{b}.$

Скалярним добутком двох векторів називають добуток їхніх модулів і косинуса кута між ними.

Скалярний добуток векторів $\overrightarrow{a}$ і $\overrightarrow{b}$ позначають так: $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}.$

$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\vert\overrightarrow{a}\vert\cdot\vert\overrightarrow{b}\vert cos\angle(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})$

Якщо хоча б один із векторів $\overrightarrow{a}$або $\overrightarrow{b}$ нульовий, то очевидно, що $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0$

Скалярний добуток $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}$ називають скалярним квадратом вектора $\overrightarrow{a}$ і позначають $\overrightarrow{a^2}^{}$.

Скалярний квадрат вектора дорівнює квадрату його модуля, тобто $\overrightarrow{a^2}^{}=\vert\overrightarrow{a}\vert^2.$

Теорема. Скалярний добуток двох ненульових векторів дорівнює нулю тоді й тільки тоді, коли ці вектори перпендикулярні.

Теорема. Скалярний добуток векторів $\overrightarrow{a}(a_1;a_2;a_3)$ і $\overrightarrow{b}(b_1;b_2;b_3)$ можна обчислити за формулою

$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$

Теорема. Косинус кута між ненульовими векторами $\overrightarrow{a}(a_1;a_2;a_3)$ і $\overrightarrow{b}(b_1;b_2;b_3)$ можна обчислити за формулою

$\cos\angle(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=\frac{a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3}{\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\cdot\sqrt{b_1^2+b_2^2+b_3^2}}$

Властивості скалярного добутку векторів

Для будь-яких векторів $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$ і будь-якого числа $k$ є справедливими рівності:

1. $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a};$

2. $(\overrightarrow{ka})\cdot\overrightarrow{b}=k(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b});$

3. $(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}$

№42.1

Дано куб ABCDA₁B₁C₁D₁, точка O — центр грані ABCD. Чому дорівнює кут між векторами:

1. $\overrightarrow{AC}$і $\overrightarrow{AD}$;

2. $\overrightarrow{AC}$і $\overrightarrow{CD}$;

3. $\overrightarrow{AC}$ і $\overrightarrow{BO}$;

4. $\overrightarrow{AD}$ і $\overrightarrow{AA_1}$;

5. $\overrightarrow{AA_1}$ і $\overrightarrow{BO}$;

6. $\overrightarrow{AA_1}$ і $\overrightarrow{CC_1}$;

7. $\overrightarrow{AA_1}$ і $\overrightarrow{B_1B}$;

8. $\overrightarrow{BO}$ і $\overrightarrow{CD}$?

№42.2

Кут між векторами $\overrightarrow{a}$ і $\overrightarrow{b}$ дорівнює 40°. Чому дорівнює кут між векторами:

1. $2\overrightarrow{a}$ і $\overrightarrow{b}$;

2. $\overrightarrow{a}$ і $−\overrightarrow{b}$;

3. $−\overrightarrow{3a}$ і $−\overrightarrow{5b}$;

4. $−\overrightarrow{7a}$і $\overrightarrow{10b}$?

№42.3

Знайдіть скалярний добуток векторів $\overrightarrow{a}$ і $\overrightarrow{b}$, якщо:

1. $\vert\overrightarrow{a}\vert=2\sqrt3$, $\vert\overrightarrow{b}\vert=5$, $\angle\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=30\degree$;

2. $\vert\overrightarrow{a}\vert=4$, $\vert\overrightarrow{b}\vert=7$, $\angle\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=135\degree$;

№42.5

Знайдіть скалярний добуток векторів $\overrightarrow{a}$ і $\overrightarrow{b}$, якщо:

1. $\overrightarrow{a}\left(1;-2;3\right),$ $\overrightarrow{b}\left(2;-4;3\right);$

2. $\overrightarrow{a}\left(-9;4;5\right),$ $\overrightarrow{b}\left(3;-1;4\right).$

№42.7

Дано вектори $\overrightarrow{m}(3;–2;4)$ і $\overrightarrow{n}(2;2;z)$. При якому значенні $z$ виконується рівність $\overrightarrow{m}\cdot\overrightarrow{n}=18$?

Домашнє завдання:

Вивчити п.42 (конспект), виконати № 42.4; 42.6; 42.8.

№ 42.4. Знайдіть скалярний добуток векторів $\overrightarrow{m}$ і $\overrightarrow{n}$, якщо$\vert\overrightarrow{m}\vert=2$, $\vert\overrightarrow{n}\vert=1,$ $\angle(\overrightarrow{m},\overrightarrow{n})=120\degree.$

№ 42.6. Знайдіть скалярний добуток векторів $\overrightarrow{a}$ і $\overrightarrow{b}$, якщо: 1) $\overrightarrow{a}(4;-1;6),$ $\overrightarrow{b}(-7;2;8);$ 2)$\overrightarrow{a}(1;-3;9),$ $\overrightarrow{b}(-1;3;0)$

№ 42.8. Дано вектори $\overrightarrow{a}(9;c;-1)$ і $\overrightarrow{b}(-2;3;c).$ При якому значенні $c$ виконується рівність $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=−24$?

Конспект