Урок: 10 клас. Геометрія. Урок 53. Множення вектора на число. Розв’язування задач і вправ

Повторюємо "Множення вектора на число"

Добутком ненульового вектора $\overrightarrow{a}$ і числа $k$, відмінного від нуля, називають такий вектор $\overrightarrow{b}$, що:

1. $\vert\overrightarrow{b}\vert=\vert k\vert\cdot\vert\overrightarrow{a}\vert;$

2. якщо $k > 0$, то $\overrightarrow{b}\uparrow\uparrow\overrightarrow{a}$ якщо $k < 0$, то $\overrightarrow{b}\uparrow\downarrow\overrightarrow{a}$.

   Записують: $\overrightarrow{b}=k\overrightarrow{a}$.

   Якщо $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}$ або $k = 0$, то вважають, що $k\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}$.

$\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{O_1C_1}$; $\overrightarrow{B_1O_1}=-\frac12\overrightarrow{DB}$; $\overrightarrow{A_1C_1}=-2\overrightarrow{OA}$.

Зауваження. $1\cdot\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a}$

Теорема. Для будь-яких векторів $\overrightarrow{a}$ і $\overrightarrow{b}$ виконується рівність$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}+\left(-1\right)\cdot\overrightarrow{b}.$

Добуток $−1\cdot\overrightarrow{a}$ позначають $−\overrightarrow{a}$ і називають вектором, протилежним вектору $\overrightarrow{a}$.

Теорема. Якщо вектори $\overrightarrow{a}$ і $\overrightarrow{b}$ колінеарні й $\overrightarrow{a}\ne\overrightarrow{0}$, то існує таке число $k$, що $\overrightarrow{b}=k\overrightarrow{a}$

Теорема. Якщо координати вектора $\overrightarrow{a}$дорівнюють $(a_1;a_2;a_3)$, то координати вектора $\overrightarrow{ka}$ дорівнюють $(ka_1;ka_2;ka_3)$.

Властивості:

Для будь-яких чисел $k$, $m$ і для будь-яких векторів $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ виконуються рівності:

1. $\left(\operatorname{km}\right)\overrightarrow{a}=k\left(m\overrightarrow{a}\right)$(сполучна властивість);

2. $\left(k+m\right)\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{a}$ (перша розподільна властивість);

3. $k\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)=k\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}$ (друга розподільна властивість).

№41.13

Знайдіть значення $x$і $y$, при яких вектори $\overrightarrow{a}\left(x;y;2\right)$ і $\overrightarrow{b}\left(-2;3;1\right)$ будуть колінеарними.

№41.15

Дано вектор $\overrightarrow{a}\left(3;2;1\right)$ Знайдіть колінеарний йому вектор $\overrightarrow{AB}$, якщо $A (1; 1; 1)$, а точка $B$ належить площині $yz$.

№41.17

Дано вектор $\overrightarrow{a}\left(-2;6;3\right)$ Знайдіть координати вектора $\overrightarrow{b}$, якщо вектори $\overrightarrow{a}$ і $\overrightarrow{b}$ протилежно напрямлені, а модуль вектора $\overrightarrow{b}$ дорівнює $1$.

№41.19

Чи лежать на одній прямій точки:

1. $A (5; 6; –4)$, $B (7; 8; 2)$ і $C (3; 4; 14)$;

2. $D (–1; –7; –8)$, $E (0; –4; –4)$ і $F (2; 2; 4)$?

Домашнє завдання:

Повторити п.41 (конспект), виконати № 41.14; 41.16; 41.18

№ 41.14. Знайдіть значення $x$ і $z$, при яких вектори $\overrightarrow{m}\left(-1;7;z\right)$ і $\overrightarrow{n}\left(x;4;5\right)$ будуть колінеарними

№ 41.16. Дано точки $A (–3; 6; 4)$, $B (6; –1; 2)$, $C (0; 3; –2)$. Знайдіть точку $D$, яка належить площині $xz$, таку, що $\overrightarrow{AD}\vert\vert\overrightarrow{BC}.$

№ 41.18. Дано: $\overrightarrow{m}\uparrow\uparrow\overrightarrow{n}$ , $\vert\overrightarrow{m}\vert=5\sqrt6,$ $\overrightarrow{n}\left(1;-1;2\right).$ Знайдіть координати вектора $\overrightarrow{m}$.