Урок: 10 клас. Геометрія. Урок 50. Додавання і віднімання векторів. Розв’язування задач і вправ

Повторюємо "Додавання і віднімання векторів"

Правило трикутника

Від кінця вектора відкладаємо вектор, рівний $\overrightarrow{b}$. З'єднуємо початок першого вектора і кінець іншого. Одержаний вектор, початок якого збігається з початком вектора $\overrightarrow{a}$, а кінець — з кінцем вектора $\overrightarrow{b}$, називається сумою цих векторів.

$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{AC}$

Для будь-яких трьох точок A, B i C виконується рівність $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$

Властивості додавання векторів

Для будь-яких векторів $\overrightarrow{a,}$ $\overrightarrow{b}$ i $\overrightarrow{c}$ виконуються рівності:

1. $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{a;}$

2. $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}$ (переставна властивість);

3. $\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+\left(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)$(сполучна властивість).

Для тетраедра DABC можна за писати: $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{AB}$

Правило паралелограма

Відкладемо від довільної точки A вектор $\overrightarrow{AB}$, рівний вектору $\overrightarrow{a}$, і вектор $\overrightarrow{AD}$, рівний вектору $\overrightarrow{b}$. Побудуємо паралелограм ABCD. Тоді шукана сума $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$дорівнює вектору $\overrightarrow{AC}$.

Правило паралелепіпеда

Розглянемо вектори $\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$ і$\overrightarrow{OC}$, які не лежать в одній площині. Знайдемо суму цих векторів.

Побудуємо паралелепіпед так, щоб відрізки OA, OB і OC були його ребрами.

Відрізок OD є діагоналлю цього паралелепіпеда. Покажемо, що $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OD}$.

Оскільки чотирикутник OBKA — паралелограм, то $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OK}$.

Маємо: $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OK}+\overrightarrow{OC}$.

Оскільки чотирикутник OCDK — паралелограм, то $\overrightarrow{OK}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OD}$

Сумою векторів $\overrightarrow{a}\left(a_1;a_2;a_3\right)$ i $\overrightarrow{b}\left(b_1;b_2;b_3\right)$ називається вектор $\overrightarrow{c}\left(a_1+b_1;a_2+b_2;a_3+b_3\right)$

Різницею векторів $\overrightarrow{a}$ і $\overrightarrow{b}$ називають такий вектор $\overrightarrow{c}$, сума якого з вектором $\overrightarrow{b}$ дорівнює вектору $\overrightarrow{a}$

Записують: $\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$

Побудуємо вектор, що дорвінює різниці векторів $\overrightarrow{a}$ і $\overrightarrow{b}$

Від довільної точки O відкладемо вектори $\overrightarrow{OA}$ і $\overrightarrow{OB}$, відповідно рівні векторам $\overrightarrow{a}$ і $\overrightarrow{b}$.

Тоді $\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OA}$.

За означенням різниці двох векторів $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{BA}$, тобто $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{BA}$, отже, вектор $\overrightarrow{BA}$ дорівнює різниці векторів $\overrightarrow{a}$ і $\overrightarrow{b}$.

для будь-яких трьох точок O, A і B виконується рівність $\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{BA}.$

Різниця векторів $\overrightarrow{a}\left(a_1;a_2;a_3\right)$ i $\overrightarrow{b}\left(b_1;b_2;b_3\right)$ називається вектор $\overrightarrow{c}\left(a_1-b_1;a_2-b_2;a_3-b_3\right)$

№40.7

Дано вектори $\overrightarrow{a}\left(-10;15;-20\right)$ і $\overrightarrow{b}\left(2;6;-12\right).$ Знайдіть:

1. координати вектора$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$;

2. $\vert\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\vert$

№40.9

Дано призму ABCDA₁B₁C₁D₁. Знайдіть різницю век торів:

1. $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{A_1C_1}$;

2. $\overrightarrow{AA_1}-\overrightarrow{BC_1}$;

3. $\overrightarrow{BA_1}-\overrightarrow{B_1C_1}$

№40.11

Спростіть вираз $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{NK}$

Домашнє завдання:

Повторити п.40 (конспект), виконати № 40.8; 40.10; 40.12.

№ 40.8. Дано вектори $\overrightarrow{m}\left(3;-1;2\right)$ і $\overrightarrow{n}\left(4;-2;-3\right).$ Знайдіть: 1) координати вектора $\overrightarrow{m}-\overrightarrow{n}$ ; 2) $\vert\overrightarrow{m}-\overrightarrow{n}\vert$ .

№ 40.10. Дано куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Знайдіть різницю векторів: 1) $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DC_1}$; 2) $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{DD_1}$.

№ 40.12. Спростіть вираз $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{FD}+\overrightarrow{BM}$