Теорема Піфагора. Перпендикуляр і похила, їх властивості.

Тема. Теорема Піфагора. Перпендикуляр і похила, їх властивості.

Мета:

• евристичними методами за допомогою комп’ютерного експерименту познайомити учнів зі змістом доведення теореми Піфагора, оберненої до неї теореми, властивостями перпендикуляра та похилих, показати застосування цих знань при розв’язуванні задач;

• розвивати творчу ініціативу та розумові здібності учнів, їх інтелектуальні якості: здатність до бачення проблеми, самостійність, гнучкість, діалектичність мислення;

• виховувати інтерес до вивчення математики через ознайомлення з історичними відомостями з історії геометрії, з життя давньогрецького ученого Піфагора.

Тип уроку. Урок вивчення і первинного усвідомлення нових знань.

Форма проведення. Евристична лекція.

Наочність та обладнання: комп'ютери, проектор, Презентація «Геометричний хокей», вчительська презентація «Теорема Піфагора», ППЗ «Геометрія 7-9», пакет «Динамічна геометрія», портрет Піфагора.

1. Організаційний етап.

Привітання. Організація уваги учнів.

1. Перевірка домашнього завдання.

Перед уроком учні-консультанти перевіряють наявність домашніх робіт, звіряють правильність зі зразком. На початку уроку звітують про стан виконання домашнього завдання вчителю.

1. Формування мети та завдань уроку.

Сьогодні на уроці ми згадаємо, що ви знаєте про прямокутний трикутник, потім спробуємо дати відповідь на запитання чи для всіх трикутників справджується теорема Піфагора, і, нарешті, покладемо до скриньки пам'яті дещо цінне – наші знання.

2

Девізом вивчення даної теми я обрала вислів Піфагора: «Не вважай себе великою людиною за розміром твоєї тіні під час заходу Сонця».

1. Актуалізація опорних знань.

Метод «Геометричний хокей».

На екрані з’являються запитання. Першого учасника вибирає вчитель. Якщо він правильно відповідає на запитання, то шайба вважається забитою в ворота вчителя, якщо ні – в ворота учнів. Далі учні «пасують» запитання один одному.

• Який трикутник називається прямокутним?

• Чому дорівнює сума гострих кутів прямокутного трикутника?

• Що називається гіпотенузою прямокутного трикутника?

• Що називається катетами?

• Як називається найдовша сторона прямокутного трикутника?

• Чи може в прямокутному трикутнику бути два прямих кути?

• Чи може в прямокутному трикутнику бути два рівних катети?

• Чому дорівнюють кути такого трикутника?

1. Мотивація навчальної діяльності.

Наразі ми починаємо роботу над навчальним проектом «Чи потрібна нам терема Піфагора?» Протягом лекції ви дізнаєтеся багато нового, деякі твердження виведете дослідним шляхом. Але знання, які ви отримаєте з даної теми на уроці – це тільки верхівка айсбергу. Сьогодні ви почуєте багато запитань. Я пропоную вам їх занотовувати. Потім, об’єднавшись в групи і розподіливши обов’язки, ви почнете шукати відповіді на ці запитання.

Проведемо геометричний експеримент.

Учні першого варіанту накресліть в зошиті прямокутний трикутник, а другого - не прямокутний різносторонній трикутник. Виміряйте сторони даного трикутника, обчисліть квадрати сторін і порівняйте квадрат найдовшої сторони з сумою квадратів двох менших сторін. Учні роблять висновок, що в прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів (в окремих випадках з деякою похибкою). 3

Але поки що це тільки гіпотеза, яка виконується на деякій множині конкретних випадків. Щоб збільшити кількість досліджених випадків, проведемо комп’ютерний експеримент за допомогою навчальної програми «Динамічна геометрія».

Учні досліджують чи виконується дане твердження для будь-якого прямокутного трикутника, роблять висновки. Але й цього не досить. Щоб підтвердити висновок, одержаний на практиці, треба довести його теоретично.

1. Вивчення нового матеріалу.

Цю теорему називають вічною Їй понад 2,5 тисячі років.

Піфагор багато подорожував, його ім'я було оточене масою легенд, тому тепер важко визначити, що зробив Піфагор сам, а що запозичив у інших. У всякому разі, залежність між сторонами прямокутного трикутника була відома ще за 1000 років до Піфагора, в Древньому Вавилоні та Єгипті. Але Піфагору належить заслуга доведення цієї теореми і широкого застосування її при розв'язуванні задач.

Дослідіть, хто раніше користувався цією теоремою на практиці. Хто такі були «гарпедонапти»? Є багато цікавих фактів прожиття славетного математика Піфагора. Можливо ви знайдете їх?

Теорема Піфагора чудова тим, що сама по собі вона зовсім не очевидна. Наприклад, властивості рівнобедреного трикутника можна бачити безпосередньо на малюнку. Проте скільки не дивися на прямокутний трикутник, ніяк не побачиш, що між його сторонами є таке просте співвідношення: с²=а² + в².

Але це співвідношення стає очевидним, якщо вдало побудувати малюнок. В цьому і є найкращий геометричний смисл: за допомогою дотепної побудови зробити неочевидне очевидним.

В математичних трактатах Древньої Індії, доводячи теорему, часто наводили тільки рисунок. Супроводжували його лише одним словом: «Дивись!»

Давайте і ми подивимось на доведення теореми Піфагора. Теорема 25 (Піфагора). У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів.

Існує багато способів доведення цієї теореми, можливо ви знайдете скільки. 4

А ми доведемо з використанням властивостей подібних прямокутних трикутників.

Учні знайомляться з доведенням теореми за допомогою ППЗ «Геометрія 7-8», роблять записи в конспекти.

До речі, сам Піфагор формулював цю теорему так:

«Сума площ квадратів, побудованих на катетах прямокутного трикутника, дорівнює площі квадрата, побудованого на гіпотенузі».

З доведенням цієї теореми Піфагором пов'язують один цікавий факт. Дізнаєтесь який? (Підказка: сто биків). А можливо ви знайдете як назвали малюнок до цієї теореми учні, який віршик вони склали?

А зараз розглянемо теорему, обернену, до теореми Піфагора. Спробуйте сформулювати її самі. Учні формулюють. Дійсно, таке твердження також справедливе.

Теорема 26. Якщо в трикутнику АВС АВ²= АС² +ВС², то кут С цього трикутника – прямий.

Учні знайомляться з доведенням теореми за допомогою ППЗ «Геометрія 7-8», роблять записи в конспекти.

А зараз познайомимося з такими поняттями: перпендикуляр, проведений з даної точки до прямої, похила, проведена до цієї ж прямої з цієї точки і проекція похилої на дану пряму. Прочитайте самостійно текст з підручника.

5

Проведемо геометричний експеримент. Накресліть в зошиті пряму, точку що не лежить на даній прямій, опустіть перпендикуляр з даної точки до даної прямої. По обидва боки від цього перпендикуляра проведіть дві рівних похилих. Ще одну похилу проведіть не рівну даним.

Зробіть вимірювання довжин перпендикуляра, похилих, їх проекцій і сформулюйте висновок: які співвідношення існують між довжинами перпендикуляра, похилих, їх проекцій. Учні формулюють твердження:

1. Кожна похила довша за перпендикуляр, проведений з тієї самої точки на ту саму пряму.

2. Проекція похилої коротша від самої похилої.

3. Якщо з однієї точки до тієї самої прямої проведено дві рівні похилі, то їх проекції рівні.

4. Якщо рівні проекції похилих, проведених з однієї точки до тієї самої прямої, то і ці похилі рівні.

5. Якщо з однієї точки до прямої проведено дві похилі, то з них більша та, проекція якої більша.

6. Якщо з однієї точки до прямої проведено дві похилі, то більша похила має більшу проекцію.

Третє і четверте твердження доведемо усно, використовуючи ознаки рівності прямокутних трикутників. П’яте і шосте – використовуючи теорему Піфагора.

1. Первинне закріплення і корекція.

Розв’язування задач за готовими малюнками:

№1 – усно,

№2 – з записом на дошці і в зошитах,

№3 – самостійно.

6

1. Підсумок уроку.

Дидактична гра «Аукціон».

Кожному з учнів треба назвати якусь теорему, формулу, твердження з даної теми. Хто назве останнім – переміг.

1. Домашнє завдання:

- Опрацювати §13, §14 підручника, вивчити формулювання та доведення теорем.

- Об’єднатися в групи, розподілити обов’язки та розпочати роботу над проектом

«Чи потрібна нам теорема Піфагора?».

Завдання групам:

а) Історики.

Вивчити історичні відомості по даному питанню: які геометричні знання були відомі в Греції та Єгипті в VI ст. до н.е., як допомагали ці знання «гарпедонаптам»? Хто відкрив теорему Піфагора? Знайти цікаві факти з життя славетного математика.

б) Науковці.

Дослідити за допомогою комп’ютерного експерименту чи виконуються теорема Піфагора для будь-якого прямокутного трикутника. Знайти свої варіанти єгипетських трикутників (скласти таблицю). Знайти свої варіанти піфагорових трикутників (скласти таблицю). Знайти інші доведення теореми Піфагора.

в) Практики.

Знайти можливі випадки застосування теореми Піфагора на практиці. Підібрати та розв’язати практичні та цікаві історичні задачі на застосування теореми Піфагора.

Зробити висновок: в яких галузях знаходять застосування ці знання.

г) Лірики.

Знайти вірші про теорему Піфагора та задачі в віршах, спробувати їх розв’язати. Скласти кросворди на дану тему.

Завдання всім групам: 7

Зі знайденими даними випустити публікації, які будуть використані для шкільної математичної газети. На завершення роботи над проектом кожній групі потрібно підготувати презентацію і захистити її на підсумковому уроці з теми.

Для оптимізації роботи учнів в групах їм пропонується . Пам'ятка роботи над проектом:

Рефлексія.

Метод «Квітка засвоєння».

Учні прикріплюють на дошці пелюстки квітки:

• Зелені – все зрозуміло,

• Сині – майже все зрозуміло,

• Жовті – зрозуміло наполовину,

• Оранжеві – дещо зрозуміло,

• Червоні – нічого не зрозуміло.