Теорема Фалеса

Формулювання та доведення теореми Фалеса

Теорема Фалеса. Якщо паралельні прямі, які перетинають сторони кута, відтинають на одній його стороні рівні між собою відрізки, то вони відтинають рівні між собою відрізки і на другій його стороні.

Доведення. Нехай паралельні прямі А₁В₁, А₂В₂, А₃В₃ перетинають сторони кута з вершиною О (мал.), причому А₁А₂ = А₂А₃. Доведемо, що В₁В₂ = В₂В₃.

1) Проведемо через точки А₁ і А₂ прямі А₁М і А₂N, паралельні прямій ОВ₃. А₁А₂ = А₂А₃ (за умовою), <А₂А₁М = <A₃A₂N (як відповідні кути при паралельних прямих А₁М і A₂N), <А₁А₂М = <А₂А₃N (як відповідні кути при паралельних прямих А₂М і A₃N). Тому трикутник А₁А₂М = А₂A₃N (за стороною

і двома прилеглими кутами), а значить А₁М = А₂N (як відповідні сторони рівних трикутників).

2) Чотирикутник А₁МВ₂В₁ - паралелограм (за побудовою). Тому А₁М = В₁В₂. Аналогічно А₂NВ₃В₂ - паралелограм, тому А₂N = В₂В₃. Отже, А₁М =А₂N, А₁М = В₁В₂, А₂N = В₂B₃. Звідки В₁В₂ = B₂B₃, що й треба було довести.

Поділ даного відрізка на n рівних частин

Наслідок. Паралельні прямі, які перетинають дві дані прямі та відтинають на одній з них рівні відрізки, відтинають рівні відрізки і на другій прямій.

За теоремою Фалеса можна поділити відрізок на будь-яку кількість рівних частин, використовуючи лінійку без поділок.

Задача. Поділіть відрізок АВ на 6 рівних частин.

Розв'язання. 1) Нехай АВ - даний відрізок (мал.). Проведемо довільний промінь АС і відкладемо на ньому циркулем послідовно 6 відрізків: АС₁ = С₁С₂ = С₂С₃ = С₃С₄ = С₄С₅ = С₅С₆.

2) Через точки С₆ і В проведемо пряму.

3) Через точки С₁, С₂, С₃, С₄, С₅ проведемо за допомогою косинця і лінійки прямі, паралельні прямій ВС₆. За теоремою Фалеса ці прямі поділять відрізок АВ на 6 рівних між собою частин: АD₁ = D₁D₂ = D₂D₃ = D₃D₄ = D₄D₅ = D₅B.

Завдання виконати в зошиті та прикріпити фото.

Поділіть даний відрізок на 5 рівних частин. Завдання потрібно виконати за допомогою лінійки без поділок.