Система двох лінійних рівнянь із двома змінними та його розв’язок. Графічний спосіб розв’язування

Маємо два лінійних рівняння з двома змінними x та y:

a1x+b1y+c1=0 і a2x+b2y+c2=0.

Треба знайти такі значення змінних x і y,  які водночас задовольняли б і перше, і друге рівняння, тобто перетворювали кожне з рівнянь у правильну рівність. Інакше кажучи: треба знайти спільний розв'язок обох рівнянь (x;y), або розв'язати систему даних рівнянь.Зверни увагу!Рівняння системи записують одне під одним і об'єднують спеціальним символом — фігурною дужкою:{a1x+b1y+c1=0,a2x+b2y+c2=0.

Пара значень (x;y), яка одночасно є розв'язком і першого, і другого рівнянь системи, називають розв'язком системи.

Розв'язати систему — це означає знайти всі її розв'язки або встановити, що їх немає.

Завдання 1. Розв'язати систему рівнянь

{x+2y−5=0,2x+4y+3=0.

Графіком рівняння x+2y−5=0 є пряма.Знайдемо дві пари значень змінних x та y, що задовольняють цьому рівнянню.

Побудуємо на координатній площині xОy пряму l1, яка проходить через ці дві точки.

Графіком рівняння 2x+4y+3=0 також є пряма.Знайдемо дві пари значень змінних x та y, що задовольняють цьому рівнянню.

Побудуємо на координатній площині xОy пряму l2, що проходить через ці дві точки.

Прямі l1 і l2 паралельні. Отже, система не має розв'язків, оскільки немає точок, що задовольняють одночасно і першому, і другому рівнянню, тобто належать одночасно і першій, і другій із побудованих прямих. 

Відповідь: система не має розв'язків.

Завдання 2. Розв'язати систему рівнянь:

{2x−y−5=0,2x+y−7=0.

Побудуємо графіки рівнянь системи, приведемо кожне рівняння до вигляду лінійної функції. Отримаємо з першого рівняння y=2x−5 і з другого рівняння y=−2x+7.

Графіком рівняння y=2x−5 є пряма.

Знайдемо дві пари значень змінних x та y, що задовольняють цьому рівнянню.

Побудуємо на координатній площині xОy пряму l1, яка проходить через ці дві точки.Графіком рівняння y=−2x+7 також є пряма.

Знайдемо дві пари значень змінних x та y, що задовільняють цьому рівнянню.

Побудуємо на координатній площині xОy пряму l2, що проходить через ці дві точки.

Прямі l1 і l2 перетинаються в точці A, координати якої — єдиний розв'язок даної системи. 

Відповідь: (3;1).

Для розв'язання цих двох прикладів застосовувався графічний метод розв'язання системи лінійних рівнянь.

Але цей метод є наближеним, оскільки координати точки перетину за кресленням не завжди легко визначити. Але все-таки графічний метод розв'язання системи лінійних рівнянь дуже важливий, коли необхідно визначити кількість розв'язків.

 Зверни увагу!

Застосовуючи його, можна дійти таких висновків, що система з двох лінійних рівняння з двома змінними x та y{a1x+b1y+c1=0,a2x+b2y+c2=0.1. Матиме єдиний розв'язок, якщо прямі, які є графіками рівнянь, будуть перетинатися в одній точці, а коефіцієнти при змінних не будуть пропорційними: a1/a2≠b1/b2.

2.Не матиме розв'язків (система несумісна), якщо прямі будуть паралельні, а коефіцієнти при змінних будуть пропорційними, проте не пропорційні вільним членам: a1/a2=b1/b2≠c1/c2.

3.Матиме нескінченну кількість розв'язків (система невизначена), прямі збігаються, а коефіцієнти при всіх змінних будуть пропорційними: a1/a2=b1/b2=c1/c2.

Класна робота

№ 1007 стор. 198

№ 1008

№ 1009

№ 1013

Домашня робота

№ 1010 стор. 198, № 1012, № 1014