Самостійна робота "Вектори на площині"

Довжина напрямленого відрізка визначає числове значення вектора і називається довжиною або модулем вектора.

Маємо вектор AB−→−=(x;y).

Із теореми Піфагора випливає, що в трикутнику ABC довжина відрізка AB, яка є модулем вектора AB−→−, дорівнює AC2+CB2−−−−−−−−−√.

Отже, модуль (довжина) вектора AB−→− розраховується за формулою ∣∣∣AB−→−∣∣∣=x2+y2−−−−−−√.

Приклад:

Обчисли довжину вектора AB−→−=(5;3).

Розв'язок: ∣∣∣AB−→−∣∣∣=52+32−−−−−−√=34−−√

Відстань між двома точками

Як відомо, координати вектора можна визначити, якщо відомі координати початкової та кінцевої точок вектора A(x1;y1) і B(x2;y2).

AB−→−(x2−x1;y2−y1)

Якщо x=x2−x1, y=y2−y1 і ∣∣∣AB−→−∣∣∣=x2+y2−−−−−−√, то на місце x і y можна поставити їхні вирази.Нову формулу називають не лише формулою довжини вектора, а й формулою відстані між двома точками із заданими координатами:|AB|=(x2−x1)2+(y2−y1)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−√Оскільки вирази в дужках у квадраті, правильним є те, що:|AB|=(x2−x1)2+(y2−y1)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=(x1−x2)2+(y1−y2)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−√Тобто послідовність координат у різниці не важлива.

Зверни увагу!

Якщо дано координати початкової і кінцевої точок вектора A(x1;y1) і B(x2;y2), то AB−→−(x2−x1;y2−y1).

Від координат кінцевої точки обов'язково потрібно віднімати координати початкової точки!

Але при визначенні довжини вектора у формулі послідовність координат не має значення:

∣∣∣AB−→−∣∣∣=(x2−x1)2+(y2−y1)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=(x1−x2)2+(y1−y2)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−√

1. Дано вектори . Знайдіть координати та довжини векторів і .

2. Відомо, що А (0;7), В (5;0), вектори МА + МВ=0. Знайдіть координати точки М.

3. Дано ромб ABCD зі стороною 1 і кутом А, що дорівнює 30о. Знайдіть довжину суми векторів BD+ АС.

4. Діагоналі AC i BD паралелограма ABCD перетинаються в точці О.

   а) запишіть, чому дорівнює сума векторів 2АО+ СD.

   б) виразіть вектори ОВ і СО через вектори АВ і AD.

5. У паралелограма ABCD точка М- середина сторони AD, відрізок ВМ перетинає діагональ АС у точці К. Виразіть вектор ВК через вектори АВ=b, AD=a.

Розв'язання.

Домашня робота

Підготуйтеся до контрольної роботи.