Самостійна робота «Теореми синусів і косинусів»

Теорема синусів

Теорему Піфагора і тригонометричні функції гострого кута можна використовувати для обчислення елементів лише в прямокутному трикутнику.

Для знаходження елементів у довільному трикутнику використовується теорема синусів або теорема косинусів.

Теорема синусів

Сторони трикутника пропорційні синусам протилежних кутів:

asinA=bsinB=csinC

(під час розв'язання задачі одночасно пишуться дві частини, утворюючи пропорцію). 

Теорема синусів використовується для обчислення:

1) невідомих сторін трикутника, якщо відомі два кути і одна сторона;

2) невідомих кутів трикутника, якщо відомі дві сторони і один прилеглий кут.

Оскільки один із кутів трикутника може бути тупим, значення синуса тупого кута знаходиться за формулою зведення:

sin(180°−α)=sinα.

Найчастіше використовуються тупі кути:

sin120°=sin(180°−60°)=sin60°=3√2sin150°=sin(180°−30°)=sin30°=12sin135°=sin(180°−45°)=sin45°=2√2

Радіус описаного кола

asinA=bsinB=csinC=2R, де R — радіус описаного кола.

Виразивши радіус, отримуємо R=a2sinA, або R=b2sinB, або R=c2sinC.

Теорема косинусів

Для обчислення елементів прямокутного трикутника достатньо 2 дані величини (дві сторони або сторона і кут).

Для обчислення елементів довільного трикутника необхідно хоча б 3 дані величини.

Теорема косинусів

Квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін мінус подвоєний добуток цих сторін на косинус кута між ними:

a2=b2+c2−2⋅b⋅c⋅cosA

Також теорема виконується для будь-якої сторони трикутника:

b2=a2+c2−2⋅a⋅c⋅cosB

c2=a2+b2−2⋅a⋅b⋅cosC

Теорема косинусів використовується для обчислення:

1) невідомої сторони трикутника, якщо відомі дві сторони і кут між ними;

2) обчислення косинуса невідомого кута трикутника, якщо відомі всі сторони трикутника.

Значення косинуса тупого кута знаходиться за формулою зведення:

cos(180°−α)=−cosα.

Найчастіше використовуються тупі кути:

cos120°=cos(180°−60°)=−cos60°=−12cos150°=cos(180°−30°)=−cos30°=−3√2cos135°=cos(180°−45°)=−cos45°=−2√2

Якщо необхідно знайти приблизне значення синуса або косинуса іншого кута або обчислити кут за знайденим синусом чи косинусом, використовується таблиця або калькулятор.

1. Гіпотенуза АВ прямокутного трикутника АВС дорівнює 9 см, катет ВС=3 см. На гіпотенузі взято точку М, причому АМ:МВ=1:2. Знайдіть СМ.

2. У гострокутному трикутнику АВС серединні перпендикуляри сторін ВС і АС перетинаються в точці О. Знайдіть довжину відрізка ОС, якщо АВ=10см, а кут ВОА дорівнює 120^о.

3. У трикутнику одна сторона на 1 см більша від другої і на 1 см менша від третьої ,косинус середнього за величиною кута дорівнює 2/3. Знайдіть периметр трикутника.

4. Сторони трикутника дорівнюють 6 см, 8 см і 10 см. Знайдіть косинус кута, який лежить проти найменшої сторони.

5. Одна із сторін паралелограма дорівнює 10 см, а діагоналі дорівнюють 20 см і 24 см. Знайдіть косинус гострого кута між діагоналями.

6. У трикутнику один кут дорівнює 45^о, другий – 60^о, а сторона, яка лежить проти кута в 45^о, дорівнює  2см. Знайдіть невідомі сторони трикутника.

Розв'язання.

Домашня робота

Підготуватися до контрольної роботи