У задачах часто зустрічається трикутник із рівними сторонами. Такі трикутники мають особливі властивості.Трикутник називається рівнобедреним, якщо в нього дві сторони рівні.Дві рівні сторони рівнобедреного трикутника називають бічними сторонами, а третя сторона — основою.

На рисунку зображено рівнобедрений трикутник ABC з бічними сторонами AB і BC та основою AC.Трикутник називається рівностороннім, якщо в нього всі сторони рівні.Зверни увагу!Зазначимо, що рівносторонній трикутник також є рівнобедреним, причому будь-які дві його сторони можна вважати бічними.

Рівнобедрений трикутник має властивості, яких не мають різносторонні трикутники:

1. У рівнобедренному трикутнику кути, прилеглі до основи, є рівними.

2. У рівнобедренному трикутнику бісектриса, проведена до основи, є медіаною і висотою.

3. У рівнобедренному трикутнику медіана, проведена до основи, є бісектрисою і висотою.

4. У рівнобедренному трикутнику висота, проведена до основи, є бісектрисою і медіаною.

Першу й другу властивості можна довести, якщо доведемо рівність двох трикутників, які утворюються, коли з протилежного до основи кута провести бісектрису BD.

Розглянемо рівнобедрений трикутник ABC з основою AC і доведемо, що ΔABD=ΔCBD.

Нехай BD — бісектриса трикутника ABC.

ΔABD=ΔCBD за першою ознакою рівності трикутників.

1. AB=BC, як бічні сторони рівнобедреного трикутника.

2. BD — спільна сторона.

3. ∠ABD=∠CBD, за властивістю бісектриси.

У рівних трикутників відповідні сторони і відповідні кути рівні:

1. ∠A=∠C — доведено, що прилеглі до основи кути рівні.

2. AD=DC — доведено, що бісектриса є медіаною.

3. ∠ADB=∠CDB — оскільки суміжні кути, сума яких дорівнює 180°, рівні, то кожен із них дорівнює 90°, тобто медіана є висотою.

Третю і четверту властивості можна легко довести самостійно.

Наслідок
У рівносторонньому трикутнику всі кути рівні.

Ознака рівнобедреного трикутника
Якщо в трикутнику два кути рівні, то він рівнобедрений.

Наслідок (ознака рівностороннього трикутника)
Якщо в трикутнику всі кути рівні, то він рівносторонній.

Наслідок
У рівносторонньому трикутнику медіана, бісектриса й висота, проведені з однієї вершини, збігаються.

Зверни увагу!

На практиці для розв’язування задач замість доведеної теореми часто використовують твердження про збіг лише двох із трьох зазначених відрізків:
1) якщо в трикутнику медіана й висота, проведені з однієї вершини, збігаються, то такий трикутник є рівнобедреним;
2) якщо в трикутнику бісектриса й висота, проведені з однієї вершини, збігаються, то такий трикутник є рівнобедреним;
3) якщо в трикутнику медіана й бісектриса, проведені з однієї вершини, збігаються, то такий трикутник є рівнобедреним.

Кут при основі рівнобедреного трикутника дорівнює 50о. Знайдіть решту кутів трикутника.
У рівнобедреному трикутнику АВС з основою АС кут В=64^о. Знайдіть кут АМС, де СМ – бісектриса трикутника.
У трикутника АВС кут А=куту В= 75^о. Знайдіть ВС, якщо площа даного трикутника дорівнює 36 см².
Зовнішній кут при вершині рівнобедреного трикутника в три рази більший від кута, суміжного з ним. Знайдіть кути трикутника.
Медіана АМ трикутника АВС перпендикулярна до бісектриси ВК (К належить АМ). Знайдіть АВ, якщо ВС = 12 см.
Периметр трикутника АВС дорівнює 5,5 м, кут А і кут С рівні, а сторони АС і АВ відносяться як 3:4. Знайдіть всі сторони трикутника АВС.