Самостійна робота «Рівність трикутників»

Рівність трикутників

Якщо два трикутники, які можна сумістити за допомогою накладання, називають рівними.

При накладанні трикутників збігаються всі сторони та всі кути.

Якщо два трикутники рівні, то елементи (сторони й кути) одного трикутника відповідно дорівнюють елементам другого трикутника.

Розглянемо рівні трикутники ΔABC і ΔA1B1C1.
В результаті накладання відповідно сумістяться сторони й кути цих трикутників, тобто кожному елементу трикутника ΔABCвідповідатиме рівний елемент трикутника  ΔA1B1C1.

Зверни увагу!

В записі назви трикутників впорядковуються так, щоб вершини рівних кутів зазначалися в порядку відповідності. Це означає, що якщо:
ΔABC = ΔA1B1C1, то справджуються шість рівностей відповідних елементів: три — для кутів і три — для сторін.
AB=A1B1;∠A=∠A1;BC=B1C1;∠B=∠B1;AC=A1C1;∠C=∠C1.

На рисунках відповідно рівні сторони зазвичай позначають однаковою кількістю рисок, а відповідно рівні кути — однаковою кількістю дужок.

На практиці не завжди можна застосувати спосіб накладання для порівняння фігур. Найчастіше необхідно обмежитися виміром деяких елементів фігур, і за цими вимірами робити висновок про їхню рівність.

Перша ознака рівності трикутників

Якщо дві сторони і кут між ними одного трикутника відповідно дорівнюють двом сторонам і куту між ними іншого трикутника, то такі трикутники рівні.

MN=PRKN=TR∠N=∠R

Чи достатньо цієї інформації для доведення рівності трикутників? Чи можна накласти фігури одна на одну?

1. Оскільки ∠N=∠R, то ΔMNK можна накласти на ΔPRT  так, що вершина N суміститься з вершиною R, а сторони NM і NK сумістяться, відповідно, з променями RP і RT.

2. Оскільки MN=PR,KN=TR, то сторона MN суміститься зі стороною PR, а сторона KN — зі стороною TR. Зокрема, сумістяться точки M і P, K і T.

3. Сумістяться сторони MK і PT. Отже, ΔMNK і ΔPRT повністю накладаються, тому вони рівні.

1. Відрізки АВ і СD перетинаються в точці О і діляться цією точкою навпіл. Довести , що АС паралельно ВD і АD паралельно ВС.

2. У трикутнику АВС один з кутів дорівнює 45^о. У рівному йому трикутнику є кут в 36^о. Знайдіть невідомі кути трикутника АВС.

3. Через вершину А трикутника АВС проведено пряму, паралельну до сторони ВС, а через вершину С- пряму, паралельну до сторони АВ. Доведіть, що проведені прямі перетинаються і утворений трикутник рівний даному.

4. Відрізки АС і ВDперетинаються в точці М так, що АМ = СМ і кут ВАМ дорівнює куту DCM. Доведіть , що трикутник ВАМ= трикутнику DCМ.

5. Доведіть, що бісектриси рівних кутів рівнобедреного трикутника рівні.

6. У середині рівностороннього трикутника АВС взята точка О, причому АО=ВО. Доведіть, що промінь СО – бісектриса кута АСВ.

Розв'язання.

Домашня робота

Підготуватися до контрольної роботи

1. Доведіть рівність трикутників за двома сторонами і медіаною, проведеною до однієї з них.