Самостійна робота "Площі фігур"

Для повторення вивченого матеріалу виконайте онлайн вправу.

Площа многокутника — це величина тієї частини площини, яку займає многокутник.

Вимірювання площі пов'язано з порівнянням займаної частини площини з деякими одиницями вимірювання площі.

За одиницю виміру площі приймають квадрат, сторона якого — одиниця виміру відрізків, і називають квадратною одиницею виміру.

Тобто:

площа квадрата дорівнює квадрату його сторони.

При необхідності більшу квадратну одиницю виміру площі розбивають на менші квадратні одиниці виміру площі, наприклад:

1cм2=10мм⋅10мм=100мм21м2=100cм⋅100cм=10000cм21км2=100000cм⋅100000cм=10000000000cм2

Властивості площ.

1. Рівні многокутники мають рівні площі.

2. Якщо многокутник складається з декількох многокутників (які не перекриваються), тоді його площа дорівнює сумі площ цих многокутників.

Якщо многокутники мають рівні площі, але вони не рівні, тоді їх називають рівновеликими.

На малюнку рівновеликі чотирикутники, площа яких 12кв. од. вим.:

Площа прямокутника дорівнює добутку його суміжних сторін.

Площа паралелограма

Необхідно визначити, що таке висота паралелограма.

Це перпендикуляр, проведений з будь-якої точки сторони паралелограма до прямої, що містить протилежну паралельну сторону. Зазвичай, висоту проводять з вершини паралелограма. Оскільки паралелограм має дві пари паралельні сторони, тоді він має висоти двох різних довжин.

Висота BE, проведена між довгими сторонами, коротше висоти BF, проведеної між короткими сторонами.

Оскільки сторони ромба однакові, тоді висоти ромба також однакові BE=BF.

Площа довільного паралелограма

Площа паралелограма дорівнює добутку висоти і сторони, до якої проведена висота.

Проведемо висоти з двох вершин B і C до сторони AD .

Прямокутні трикутники ABE і DCF рівні (рівні гіпотенузи, як протилежні сторони паралелограма і рівні катети, як відстань між паралельними прямими).

Паралелограм ABCD і прямокутник EBCF — рівновеликі, оскільки складаються з рівних фігур:

SABCD=SABE+SEBCDSEBCF=SEBCD+SDCF

Отже, площа паралелограма визначається так само, як площа прямокутника:

SEBCF=BE⋅BCSABCD=BE⋅BC=BC⋅AD

Якщо позначити сторону через a, висоту через h, тоді:

Sп−гр=a⋅h

Для визначення площі паралелограма можна використовувати коротку сторону і висоту, проведену до короткої сторони.

Площа ромба

Діагоналі ромба в точці перетину діляться навпіл, вони перпендикулярні і ділять ромб на чотири рівних прямокутних трикутника.

SABCD=4⋅SABO=4⋅BO⋅AO2=2⋅BO⋅AO

Формула визначення площі ромба:

Sромба=d1⋅d22

Ця формула справедлива для визначення площі будь-якого чотирикутника, якщо його діагоналі перпендикулярні.

Оскільки діагоналі квадрата рівні, тоді для визначення площі квадрата у формулі достатньо довжини однієї діагоналі:

Sквадрата=d22

Площа довільного трикутника

Оскільки діагональ паралелограма ділить його на два рівних трикутника, тоді площа трикутника дорівнює половині площі паралелограма.

Sтрик=aha2, де h — висота (на малюнку — BE), проведена до сторони a (на малюнку — AD).

Для визначення площі трикутника можна використовувати будь-яку сторону і висоту, проведену до цієї сторони.

Зручно іноді використовувати формулу Герона, якщо відомі довжини всіх трьох сторін трикутника.

SΔ=p(p−a)(p−b)(p−c)−−−−−−−−−−−−−−−−−√p=a+b+c2

— формула Герона, де a,b і c — сторони трикутника, p — півпериметр трикутника.

Площа прямокутного трикутника

Оскільки катети прямокутного трикутника взаємно перпендикулярні, тоді один катет може бути висотою, а інший катет — стороною, до якої проведена висота. Отримуємо формулу:

S=a⋅b2, де a і b — катети.

Для прямокутного трикутника можна застосовувати формули площі довільного трикутника.

Приклад:

1. Обчислимо площу трикутника зі сторонами 17 см, 39 см, 44 см.

Розв'язання:

p=17+39+442=50SΔ=50⋅(50−17)⋅(50−39)⋅(50−44)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=50⋅33⋅11⋅6−−−−−−−−−−√==25⋅2⋅3⋅11⋅11⋅2⋅3−−−−−−−−−−−−−−−−−√=5⋅2⋅3⋅11=330(см2)

Щоб легше було вирахувати корінь, необхідно розкладати числа на множники: a⋅a−−−−√=a

Формулу Герона можна використовувати для обчислення висоти трикутника.

Приклад:

2. Обчислимо меншу висоту трикутника, сторони якого дорівнюють 15 см, 13 см, 4 см.

Розв'язання:

Використовуємо дві формули обчислення площі:  SΔ=aha2 і SΔ=p(p−a)(p−b)(p−c)−−−−−−−−−−−−−−−−−√

Менша висота у трикутнику та, яка проведена до більшої сторони, тому a= 15 см.

SΔ=p(p−a)(p−b)(p−c)−−−−−−−−−−−−−−−−−√=16⋅1⋅3⋅12−−−−−−−−−√=24(см2)

Утворюємо рівняння:

15⋅h2=24∣∣⋅215⋅h=48h=4815=3,2(см)

Іноді формула Герона використовується для обчислення площі паралелограма, якщо дано сторони паралелограма і його діагональ.

Приклад:

3. Дано паралелограм зі сторонами 17 см і 39 см, довжина діагоналі дорівнює 44 см. Обчислимо площу паралелограма. 

Розв'язання:

Діагональ ділить паралелограм на два рівних трикутника. Використовуємо результат, отриманий у першому прикладі:

Sпаралелограма=2⋅SΔ=2⋅330=660(см2)

Площа трапеції

Трапеція має одну пару паралельних сторін, отже, має одну висоту — перпендикуляр, проведений між паралельними сторонами.

Найчастіше висоту трапеції проводять з вершин або через точку перетину діагоналей.

Площу трапеції визначимо, як суму площ трикутників, на які трапецію ділить діагональ.
 

SABCD=SABD+SDBCSABCD=AD⋅BE2+BC⋅DF2=AD⋅BE2+BC⋅BE2==(AD+BC)⋅BE2

Якщо позначити паралельні сторони (основи) трапеції через a і b, висоту через h, тоді:

Sтрап=a+b2⋅h

Зверни увагу!

1. Якщо висоти трикутників рівні, тоді їх площі відносяться, як довжини основ.

2. Якщо основи трикутників рівні, тоді їх площі відносяться, як довжини висот.

3. Якщо висоти трикутників рівні і їх основи рівні, тоді вони рівновеликі, наприклад, медіана ділить трикутник на дві рівновеликі частини.

1. Висота ромба дорівнює 24 см, а одна з діагоналей - 40 см. Знайдіть площу ромба.

2. Основи трапеції дорівнюють 60 см і 20 см, а бічні сторони - 13 см і 37 см.

3. Знайдіть площу круга, вписаного в правильний трикутник зі стороною 8 см.

4. Менша основа а рівнобічної трапеції дорівнює бічній стороні, а гострий кут дорінює альфа. Знайдіть площу трапеції.

5. Основи трапеції дорівнюють 142 см і 89 см, а діагоналі - 120 см і 153 см. Обчисліть площу трапеції.

Розв'язання.

Домашня робота

Підготуйтеся до контрольної роботи.

1. У трапеції ABCD з основами AD і ВС проведено діагоналі. Доведіть, що площі триктуників ABD і ACD рівні.