Самостійна робота «Площа трикутника»

Площа довільного трикутника

Оскільки діагональ паралелограма ділить його на два рівних трикутника, тоді площа трикутника дорівнює половині площі паралелограма.

Sтрик=aha2, де h — висота (на малюнку — BE), проведена до сторони a (на малюнку — AD).

Для визначення площі трикутника можна використовувати будь-яку сторону і висоту, проведену до цієї сторони.

Зручно іноді використовувати формулу Герона, якщо відомі довжини всіх трьох сторін трикутника.

SΔ=p(p−a)(p−b)(p−c)−−−−−−−−−−−−−−−−−√p=a+b+c2

— формула Герона, де a,b і c — сторони трикутника, p — півпериметр трикутника.

Площа прямокутного трикутника

Оскільки катети прямокутного трикутника взаємно перпендикулярні, тоді один катет може бути висотою, а інший катет — стороною, до якої проведена висота. Отримуємо формулу:

S=a⋅b2, де a і b — катети.

Для прямокутного трикутника можна застосовувати формули площі довільного трикутника.

Приклад:

1. Обчислимо площу трикутника зі сторонами 17 см, 39 см, 44 см.

Розв'язання:

p=17+39+442=50SΔ=50⋅(50−17)⋅(50−39)⋅(50−44)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=50⋅33⋅11⋅6−−−−−−−−−−√==25⋅2⋅3⋅11⋅11⋅2⋅3−−−−−−−−−−−−−−−−−√=5⋅2⋅3⋅11=330(см2)

Щоб легше було вирахувати корінь, необхідно розкладати числа на множники: a⋅a−−−−√=a

Формулу Герона можна використовувати для обчислення висоти трикутника.

Приклад:

2. Обчислимо меншу висоту трикутника, сторони якого дорівнюють 15 см, 13 см, 4 см.

Розв'язання:

Використовуємо дві формули обчислення площі:  SΔ=aha2 і SΔ=p(p−a)(p−b)(p−c)−−−−−−−−−−−−−−−−−√

Менша висота у трикутнику та, яка проведена до більшої сторони, тому a= 15 см.

SΔ=p(p−a)(p−b)(p−c)−−−−−−−−−−−−−−−−−√=16⋅1⋅3⋅12−−−−−−−−−√=24(см2)

Утворюємо рівняння:

15⋅h2=24∣∣⋅215⋅h=48h=4815=3,2(см)

Іноді формула Герона використовується для обчислення площі паралелограма, якщо дано сторони паралелограма і його діагональ.

Приклад:

3. Дано паралелограм зі сторонами 17 см і 39 см, довжина діагоналі дорівнює 44 см. Обчислимо площу паралелограма. 

Розв'язання:

Діагональ ділить паралелограм на два рівних трикутника. Використовуємо результат, отриманий у першому прикладі:

Sпаралелограма=2⋅SΔ=2⋅330=660(см2)

Площа трапеції

Трапеція має одну пару паралельних сторін, отже, має одну висоту — перпендикуляр, проведений між паралельними сторонами.

Найчастіше висоту трапеції проводять з вершин або через точку перетину діагоналей.

Площу трапеції визначимо, як суму площ трикутників, на які трапецію ділить діагональ.
 

SABCD=SABD+SDBCSABCD=AD⋅BE2+BC⋅DF2=AD⋅BE2+BC⋅BE2==(AD+BC)⋅BE2

Якщо позначити паралельні сторони (основи) трапеції через a і b, висоту через h, тоді:

Sтрап=a+b2⋅h

Зверни увагу!

1. Якщо висоти трикутників рівні, тоді їх площі відносяться, як довжини основ.

2. Якщо основи трикутників рівні, тоді їх площі відносяться, як довжини висот.

3. Якщо висоти трикутників рівні і їх основи рівні, тоді вони рівновеликі, наприклад, медіана ділить трикутник на дві рівновеликі частини.

1. Знайдіть площу гострого трикутника, якщо дві його сторони дорівнюють 13 см і 15 см,  а висота, проведена до третьої сторони, дорівнює 12 см.

2. Знайдіть площу рівнобедреного трикутника за основою , яка дорівнює 10 см,  і кутом при основі 30^о.

3. Знайдіть висоту трикутника, проведену до найменшої із сторін трикутника, сторони якого дорівнюють 11 см, 25 см і 30 см.

4. Дано прямокутник АВСD. Сторона СD продовжена за точку С. На цьому продовженні позначена точка Р так, що кут PAB=50^о, Н – точка перетину відрізків РА і ВС, ВН:НС=3:2, АН = 10 см. Знайдіть площу трикутника АРD.

5. Площа трикутника BCD дорівнює 48 см². Знайдіть : а) сторону ВС, якщо висота DMдорівнює 9 см; б) висоту СК, якщо сторона BD дорівнює 15 см.

6. У трикутнику АВС на стороні АВ взято точку D. Знайдіть відношення площ  трикутників ACD і BCD, якщо АD = 12 см, BD = 14 см.

Розв'язання.

Домашня робота

Підготуватися до контрольної роботи