Самостійна робота "Квадратична функція"

Квадратним рівнянням називається рівняння вигляду ax2+bx+c=0, де коефіцієнти a,b,c — будь-які дійсні числа, причому a≠0.

Коефіцієнти a,b,c розрізняються за назвами:

• a — перший, або старший коефіцієнт;

• b — другий коефіцієнт, або коефіцієнт при x;

• c — вільний член.

Квадратне рівняння називається зведеним, якщо його старший коефіцієнт дорівнює 1;

квадратне рівняння називається незведеним, якщо старший коефіцієнт відмінний від 1.

Так, рівняння 3x2+5x−1=0 — незведене квадратне рівняння (старший коефіцієнт дорівнює 3), а рівняння x2−2x+1=0 — зведене квадратне рівняння.

Окрім зведених і незведених квадратних рівнянь розрізняють також повні та неповні рівняння.

Повне квадратне рівняння — це квадратне рівняння, в якому присутні всі три доданки; інакше кажучи, це рівняння, у якого коефіцієнти b і c відмінні від нуля.

Неповне квадратне рівняння — це рівняння, в якому присутні не всі три доданки; інакше кажучи, це рівняння, в якого хоча б один із коефіцієнтів b,c дорівнює нулю.

Про ax2 не йдеться, цей член завжди присутній у квадратному рівнянні.

Коренем квадратного рівняння  ax2+bx+c=0 називається будь-яке значення змінної x, за якого квадратний тричлен ax2+bx+c перетворюється на нуль; таке значення змінної x називається також коренем квадратного тричлена.

Можна сказати й так: корінь квадратного рівняння ax2+bx+c=0 — це таке значення x, підстановка якого в рівняння перетворює рівняння на правильну числову рівність 0=0.

Розв'язати квадратне рівняння — означає знайти всі його корені або встановити, що коренів немає.

Алгоритм розв'язання неповних квадратних рівнянь

1. Якщо рівняння має вигляд ax2=0, то в нього один корінь: x=0

2. Якщо рівняння має вигляд ax2+bx=0, то використовується метод розкладання на множники: x(ax+b)=0; отже, або x=0, або ax+b=0. У результаті отримуємо два корені: x1=0;x2=−ba

3. Якщо рівняння має вигляд ax2+c=0, то його перетворюють до вигляду ax2=−c, а потім: x2=−ca

У випадку, коли −ca — від'ємне число, рівняння x2=−ca не має коренів (отже, не має коренів і початкове рівняння ax2+c=0).

У випадку, коли −ca — додатне число, тобто−ca=m, де m>0, рівняння x2=m має два корені: x1=m−−√, x2=−m−−√. У цьому випадку допускається більш короткий запис: x1,2=±m−−√.

Зверни увагу!

Неповне квадратне рівняння може мати два корені, один корінь або жодного кореня.

Квадратне рівняння ax2+bx+c=0 може мати два корені, один корінь або взагалі не мати коренів.

1. Скоротіть дріб:

   a) б)

2. Розв'яжіть рівняння:

   а) ; б) х²+5ах+4а²=0; в)

3. Побудуйте графік функції у=х²+2х+3.

4. Використовуючи перетворення графіків, побудуйте графіки функцій:

   а) у=(х+4)²-3; б) у=; в) у=-2х²+4.

5. Побудуйте графік функції

Розв'язання.

Домашня робота

Підготуйтеся до контрольної роботи.