Самостійна робота. Чотирикутники

Чотирикутник - це чотирикутна геометрична фігура, утворена замкнутою ламаною лінією, що складається з чотирьох відрізків. Крапки в чотирикутнику називаються вершинами, відрізки називаються сторонами або гранями чотирикутника.

Чотирикутник включає себе такі найпростіші фігури

• Чотири крапки (A, B, C, D);

• Чотири відрізки (AB, BC, CD, DA);

• Чотири кута (α, β, γ, θ);

• Замкнута ламана лінія (ABCD).

Вершини чотирикутника

Вершини чотирикутника позначають великими латинськими літерами. Чотирикутник позначається послідовністю вершин. На малюнку у нас чотирикутник ABCD.

Сторони чотирикутника

Сторони чотирикутника (або ще їх називають межі або ребра) позначаються малими латинськими буквами. На малюнку ми позначили сторони чотирикутника буквами a, b, c, d. Також сторони чотирикутника можна позначати у вигляді відрізків, наприклад a = AB, b = BC, c = CD, d = DA. Сторони, які відносяться до однієї вершини, називаються суміжними сторонами. На малюнку для вершини A ми маємо суміжні сторони DA та AB

Кути чотирикутника

Кути, як ми знаємо, позначають малими грецькими буквами. На малюнку кути чотирикутника позначені як α, β, γ, θ, де α = DAB, β = ABC, γ = BCD, θ = CDA. Кожен кут чотирикутника має протилежний кут, наприклад, на малюнку кут α має протилежний кут γ, а для β протилежні кут θ.

Діагоналі чотирикутника

Діагональ чотирикутника - це відрізок, що з'єднує протилежні вершини чотирикутника.

Всього у чотирикутника дві діагоналі. На малюнку відрізки AC та BD - це діагоналі чотирикутника ABCD.

Якщо діагоналі чотирикутника перетинаються під прямим кутом, то такий чотирикутник називається ортодіагональним.

Бісектриси чотирикутника

Бісектриса чотирикутника - це промінь, що розділяє кут вершини на два рівних кута.

Середні лінії чотирикутника

Середня лінія чотирикутника - це відрізок, що з'єднує протилежні сторони через їх середини.

Щоб намалювати середню лінію необхідно всі сторони чотирикутника розбити на два рівних відрізка та знайти середини. Середини протилежних сторін необхідно з'єднати відрізками, які й будуть середніми лініями чотирикутника.

Класифікація чотирикутників

Опуклі чотирикутники

Опуклий чотирикутник - це чотирикутник, у якого всі кути опуклі (від 0° до 180°, не включаючи ці значення). Сума всіх кутів опуклого чотирикутника завжди дорівнює 360°

Неопуклі або увігнуті чотирикутники

Увігнутий чотирикутник - це чотирикутник, у якого один кут увігнутий (від 180° до 360°, не включаючи ці значення). Сума всіх кутів увігнутого чотирикутника завжди дорівнює 360°

Самоперетинаючі чотирикутники

Самоперетинаючий чотирикутник - це чотирикутник, у якого протилежні сторони перетинаються.

Візуально самоперетинаючий чотирикутник схожий на два трикутника у яких сторони лежатимуть на двох пересічних лініях, а точка перетину -це загальна вершина для трикутників.

Види чотирикутників та їх властивості

Паралелограм

Паралелограм - це чотирикутник, у якого протилежні сторони паралельні й рівні. У паралелограма протилежні кути рівні.

Прямокутник

Прямокутник - це паралелограм з рівними кутами або
чотирикутник, у якого протилежні сторони паралельні й рівні. Всі кути прямокутника рівні 90°.

Ромб

Ромб - це паралелограм з рівними сторонами або ортодіагональний чотирикутник, у якого всі сторони рівні а протилежні сторони паралельні.

Квадрат

Квадрат - це прямокутник з рівними сторонами або опуклий чотирикутник, у якого всі сторони та кути рівні. Всі кути квадрата мають кут 90°.

Трапеція

Трапеція - це чотирикутник, у якого дві протилежні сторони паралельні. Ці сторони називають основою трапеції, інші сторони називають бічними сторонами трапеції.

Трапеція, у якої бічні сторони рівні, називають рівнобічною трапецією. У рівнобічної трапеції кути при основі рівні. На малюнку праворуч зображена рівнобічна трапеція.

Дельтоид

Дельтоїд - це ортодіагональний чотирикутник, у якого суміжні сторони для протилежних кутів рівні.

Антипаралелограм

Антипаралелограм (контрпаралелограм) - це самоперетинаючий чотирикутник, у якого протилежні сторони рівні але не паралельні.

Як вписати коло в чотирикутник?

Коло, що дотикаєтся всіх чотирьох сторін чотирикутника, називається вписаним. У чотирикутник можна вписати коло тільки за однієї умови, якщо суми протилежних сторін чотирикутника рівні. Якщо умова рівності протилежних сторін не виконується, то в такий чотирикутник неможливо вписати коло.

Центр вписаного кола чотирикутника - це точка перетину всіх медіан чотирикутника. Якщо від цієї точки до будь-якої сторони виміряти відстань по перпендикуляру, то ми отримаємо радіус вписаного кола.

Як описати чотирикутник окружністю?

Коло, що дотикається до всіх вершин чотирикутника називається описаним. Якщо сума протилежних кутів дорівнює 180°, то такий чотирикутник можна описати колом. У разі, якщо ця умова не виконується, то такий чотирикутник неможливо описати колом.

Центр описаного кола чотирикутника - це точка перетину перпендикулярів, що виходять з середини сторін.

1. Діагоналі опуклого чотирикутника ABCD мають довжину 12 см і 8 см. Знайти периметр чотирикутника з ввершинами в серединах сторін даного чотирикутника.

2. Знайти градусні міри опуклого чотирикутника, якщо вони пропорційні числам 2, 4, 5, 7.

3. 3найти сторони чотириктуника, периметр якого дорівнює 20 см, а одна із сторін більша від інших на 1 см, 2 см і 3 см відповідно.

4. У чотирикутнику ABCD  кути А і С рівні, а кут В на 40^о більший від кіта А і на 60^о більший від кути D. Обчисліть градусні міри кутів даного чотирикутника.

5. Сума двох протилежних сторін чотирикутника. описаного навколо кола, дорівнює 18 см, а радіус вписаного в нього кола дорівнює 7 см. Знайдіть площу чотирикутника.

6. Знайдіть сторони опуклого чотрикутника, периметр якого дорівнює 66 см, перша сторона більша від другої на 8 см і на стільки ж менша від третьої, а четверта у 3 рази більша від другої.

Розв'язання.

Домашня робота

Підготуватися до контрольної роботи

Розв'яжіть задачу.

1. Обчисліть сторони опуклого чотирикутника, периметр якого дорівнює 35 см, а довжини сторін пропорційні числам 1,2,3,4.