Розв'язування задач за теоремою Піфагора

Тема уроку: Розв’язування задач на застосування теореми Піфагора.

Мета уроку: узагальнити і систематизувати знання учнів про властивості 

                    прямокутного трикутника;

                    розвивати вміння учнів застосовувати набуті знання і навички 

                    до розв’язування задач які містять прямокутний трикутник,

                    застосовувати теорему Піфагора для знаходження відстаней між 

                    точками; 

                    виховувати вміння працювати з напарником, з повагою 

                    ставитися до однолітків.

Тип уроку: урок узагальнення, систематизації і застосування знань.

Вид уроку: урок-подорож: «Крокуємо з Піфагором».

Девіз уроку: «Розум полягає не лише в знаннях, але й у вмінні застосовувати 

                      ці знання». / Аристотель /

Матеріали: плакати з ілюстраціями про Піфагора, плакати до виступу 

                  Піфагорійців, таблички з формулами, картки до перевірки знань 

                  учнів, картки малюнків до задач, готові креслення до загальних 

                  задач, картки оцінювання, ноутбук, проектор, екран, презентація 

                   до уроку.

Зміст уроку

1. Вступ.

2. Мотивація навчання.

3. Зупинка: «Біографічна». Біографія Піфагора.

4. Зупинка: «Піфагорійська школа». Узагальнення знань.

5. Зупинка: «Розумники». Заповнення карток.

6. Зупинка: «Озеро». Розв’язування задачі.

7. Зупинка «Парк». Розв’язування задачі.

8. Зупинка «Місто». Розв’язування задачі.

9. Зупинка «Науковці». Розв’язування задач.

10. Підведення підсумків уроку.

1. Вступ.

Вчитель:

        Любі хлопчики й дівчата.

        У класі в нас сьогодні свято,

        А тому поважні гості

        Завітали в добрий час.

        Ми вітаємо їх уклоном,

        Посмішкою, добрим словом.

        Отже часу не втрачаймо

        І урок розпочинаймо.

Вчитель:

Як сказав давньогрецький вчений, філософ і логік – Аристотель : «Розум полягає не лише в знаннях, але й у вмінні застосовувати ці знання».

І тому я пропоную тему нашого уроку: розв’язування задач на застосування теореми Піфагора.

1. Мотивація навчання.

«Геометрія є самим наймогутнішим засобом для покращення наших розумових здібностей і дає нам можливість правильно мислити і міркувати».

/Г. Галілей/

На попередніх уроках ми вивчили «найвеличнішу теорему» - теорему Піфагора. В будь-якій задачі, де ми стикаємося з прямокутним трикутником завжди є місце для теореми Піфагора. А прямокутний трикутник зустрічається і в квадраті, і в прямокутнику, ромбі, трапеції, в колі і в багатьох інших фігурах.

Тому метою нашого уроку буде: узагальнення і систематизація знань про властивості прямокутного трикутника; застосовування набутих знань, умінь і навичок до розв’язування задач які містять прямокутний трикутник, безпосередньо застосовування теореми Піфагора для знаходження відстаней між точками.

1. Зупинка: «Біографічна». Біографія Піфагора.

Наш урок – урок подорож. І мандрувати ми будемо разом з величайшим розумом стародавньої Греції Піфагором.

Першою сходинкою нашої подорожі буде зупинка: «Біографічна». Щоб мандрувати з людиною, треба ознайомитися з цікавими фактами  його життя.

Наші історики провели дослідження і з задоволенням поділяться з вами  своєю роботою.

Учень 1:

Піфагор Самоський – так звали давньогрецького філософа, який став легендою і джерелом дискусій уже в стародавні часи.

В І столітті до нашої ери біля берегів Малої Азії на острові Самос Егейського моря в сім’ї золотих справ майстра Мнесарха і його дружини Парфеніси народився син. На честь бога Аполона Піфійського, сина назвали Піфагором.

Учень 2:

Вже в дитинстві Піфагор виявив велику здатність  до наук. Для покращення пам’яті, перший вчитель Гермодамас, примусив хлопчика вивчити на пам'ять поеми «Одіссея» і «Іліада».

В 20 років Піфагор відправляється в Мілет, де слухає лекції 80-ти річного Фалеса. Фалес радить Піфагору поїхати до Єгипту, щоб продовжити навчання. Навчання Піфагора в Єгипетських храмах сприяє тому, що він стає одним із найбільш освідчених людей свого часу.

Учень 3:

Під час війни в Єгипті Піфагор потрапляє у персидський полон.

В полоні у Вавилоні він зустрічається з персидськими магами, астрологами, знайомиться з медициною, філософією арифметики.

Дванадцять років Піфагор знаходився у вавилонському полоні, доки його не звільнив персидський цар Дарій Гістасп, прочувший про відомого грека. На той час Піфагору вже було 60 років.

Учень 1:

Кращі уми Греції в той час перебралися в Південну Італію. Тут і вирішує Піфагор створити свою власну філософську школу. В своїй школі він навчав медицині, принципам політичної діяльності, астрономії, математиці, музиці, граматики, етиці та багато іншому.

Своїм символом Піфагорійці вибрали п’ятипалу зірку. Числам надавалися містичні властивості, зв’язували реальний світ з числовими відношеннями.

Учень 2:

Пройшло двадцять років після створення школи. Слава про неї рознеслася по всьому світу.

Завидник Кілон підпалив будинок Піфагора. Під час пожежі учні врятували Піфагора, але невдовзі він помер. Ідеї Піфагора стали набувати, ще більше прихильників, як за його життя.

Учень 3:

Найпопулярнішою з усіх теорем є теорема Піфагора, вона використовується на кожному кроці. Існує близько 500 різних доказів цієї теореми.

Вважається, Піфагор першим довів теорему, яка носить його ім’я. На жаль, його доказ не дійшов до нашого часу.

1. Зупинка: «Піфагорійська школа». Узагальнення знань.

Вчитель:

Піфагор задоволений юними дослідниками і запрошує нас в свою школу. Завітаємо до «Піфагорійської школи».

(До дошки виходять шість учнів з плакатами).

Учні: Ми Піфагорійці.

Учні: Ми Піфагорійці.

Піфагорійці: Запрошуємо і вас долучитися до нашої школи, потрібно відповісти на «немі» запитання.

(Піфагорійці показують частину картки з початком формули, учні розповідають правило і називають формулу).

1. У прямокутному трикутнику, висота проведена до гіпотенузи, є середнім пропорційним між проекціями катетів на гіпотенузу:  

2. У прямокутному трикутнику, катет є середнім пропорційним між гіпотенузою і його проекцією на гіпотенузу:   ;  .

3. У прямокутному трикутнику, висота     

                                   проведена до гіпотенузи, дорівнює добутку  

                                   катетів, поділеному на гіпотенузу:  .

1. Теорема Піфагора: У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів:  .

(Кожен виступаючий учень отримує від Піфагорійців зірку).

Вчитель: Дякуємо юним Піфагорійцям за важливу інформацію .

1. Зупинка: «Розумники». Заповнення карток.

Вийдемо із школи Піфагорійців. Піфагор запорошує всіх нас пройти випробування і залучитися до отримання звання «Розумники». Візьміть картку «Розумники», запишіть своє прізвище і ім’я, розв’яжіть задачі за готовими кресленнями, в правій частині картки запишіть обчислення, якщо вони потрібні,  і значення шуканого відрізка.

(Варіанти самостійної роботи із завданнями в доданку до уроку).

(Піфагорійці збирають заповненні картки).

1. Зупинка: «Озеро». Розв’язування задачі.

Піфагор всіх запрошує до міста, але щоб туди потрапити, треба пройти випробування винахідливістю, показати що ви володієте витримкою і маєте здатність до математичної логіки. Так рушаємо у подорож. 

Ось і перша перешкода, на нашому шляху лежить озеро і ми крокуємо за Піфагором. (Вчитель зачитує задачу, а учень на екрані будує малюнок за допомогою «мишки» і заготовлених елементах малюнка).

Задача №1.

Щоб обійти озеро Піфагор пройшов 7 км на південь, потім 4 км на схід і стільки ж на північ. На яку відстань відійшов Піфагор від початкової точки?

Розв’язання.

AB = 7 км; ВС = 4 км; CD = 4 км. Знайти AD.

Проведемо пряму FD  DC. Чотирикутник FDCB– квадрат. FD = 4 км; AF = 7 – 4 = 3 (км).  – прямокутний з катетами: 4 і 3. Маємо Єгипетський трикутник у якого гіпотенуза = 5. Тобто Піфагор прийшов у точку, яка знаходиться на відстані 5 км від початку руху.

1. Зупинка «Парк». Розв’язування задачі.

Задача №2.

Ми пройшли озеро, перед нами парк, який має форму прямокутника з площею 5460  і стороною 60 м. Вам необхідно порахувати довжину головної алеї, яка проходить через діагональ прямокутника.

(Перші п’ять пар, які розв’яжуть задачу, отримають зірку. Одна із пар лідерів записують розв’язання задачі на дошці).

А                         В                                      Дано:

                                                                    ; AD = 60 .

                                                                   Знайти: АС.

D                           C               Розв’язання.

AD  DC =  ; DC = 5460 : 60 = 91(м).

За теоремою Піфагора, так як  – прямокутний, маємо:

.

(м).

Відповідь: 109 м.

1. Зупинка «Місто». Розв’язування задачі.

Виходимо з парку і наближаємося до міста. Щоб зайти в місто Піфагор пропонує розв’язати стародавню задачу про голубів. (Задача Л. Пізанського ХІІ – ХІІІ ст.)

Задача №3.

Два голуби злетіли із двох веж і одночасно прилетіли до криниці, яка розташована між вежами. Знайдіть відстань від криниці до кожної з веж, якщо вони заввишки 40 футів і 30 футів, а відстань між вежами 50 футів.

Розв’язання.

і  – прямокутні. За теоремою Піфагора:

;  .Так як АК = ВК, то .

.

Нехай СК = х футів, тоді DK = (50 – х) футів. Складемо і розв’яжемо рівняння:

;

;

100х = 1800 ;

х = 18.

СК = 18 футів; DК = 50 – 18 = 32 (фута).

Відповідь: 18 футів, 32 фута.

Молодці. Тепер Піфагор дозволяє вам зайти у місто.

1. Зупинка «Науковці». Розв’язування задач.

Піфагор привів нас у незвичайне місто – це місто науковців, і тут на кожному кроці вирішують глобальні проблеми, проголошують гіпотези, доводять твердження, а також розв’язують задачі. Ось одна з них.

Задача №4.

У рівнобічну трапецію з основами 4 см і 16 см вписано коло. Знайдіть радіус кола.

Колективне обговорювання задачі:

1. У рівнобічної трапеції бічні сторони рівні.

2. Відрізок, який відтинає висота на нижній основі, дорівнює піврізниці основ.

3. Утворюються два прямокутних трикутника.

4. Можна застосувати теорему Піфагора.

5. Якщо в трапецію можна вписати коло, то сума основ дорівнює сумі бічних сторін.

6. Радіус вписаного кола дорівнює половині висоти трапеції.

                   В   4   С                                     Дано:             

                                                             АВС

        А                  16                D 

                       К

Так як в трапецію можна вписати коло, то сума основ дорівнює сумі бічних сторін: АВ + СD = ВС + АD; АВ = СD; 2 АВ = 4 + 16 + 20 (см); АВ = 10 см.

. Проведемо висоту ВК,  – прямокутний;

АК =  (см).

За теоремою Піфагора: ; тоді ;

ВК =  (см); r = 8 : 2 = 4 (см).

Відповідь: 4 см.

Задача №5.

Периметр ромба дорівнює 52  см. Знайти діагоналі ромба, якщо його висота дорівнює 12 см.

Колективне обговорювання і розв’язування задачі по частинам, де кожну частину розв’язує наступний учень.

1. У ромба всі сторони рівні.

2. Діагоналі в точці перетину діляться навпіл.

3. Діагоналі перпендикулярні.

4. Висота утворює два прямокутних трикутника.

5. Діагоналі утворюють чотири рівних прямокутних трикутника.

6. Можна застосувати теорему Піфагора.

                                                     АВСD – ромб;

                                                     = 52 см; 

                      К                              Знайти: АС і ВD.

             D                     

                              Розв’язання.

І учень:

АD = 52 : 4 = 13 (см). 

– прямокутний; за теоремою Піфагора:

DК =  .

ІІ учень:

КС = DС – DК = 13 – 5 = 8 (см).

– прямокутний; за теоремою Піфагора:

АС = 

.

ІІІ учень: 

– прямокутний; ВО = ВD : 2 ; ОС = АС : 2 =  см; ВС = 13 см.

За теоремою Піфагора: 

(см); ВD = 2  ВО = 6 (см).

Відповідь:  см; 6 см.

1. Підведення підсумків уроку.

Підійшов час попрощатися з Піфагором. Дякуємо йому за гостинність.

Давайте згадаємо що з нами відбувалося в гостях, чим ми займалися на уроці.

1. Що ми повторювали?

2. Які зупинки ви пам’ятаєте? 

3. Яка зупинка сподобалася найбільше?

4. Чому ви навчилися?

5. Чи задоволений ти результатами уроку?

Підніміть отримані зірки. Підпишіть зірки, здайте Піфагорійцям.

Відкрийте щоденники, запишіть домашнє завдання: № 450, 451.