Розв'язування задач. Синус, косинус, тангенс кутів від 0° до 180°. Тотожності: sin (180° – а) = sin а;cos (180° – а) = – cos а.

Для актуалізації опорних знань виконайте онлайнвправу.

У системі координат побудуємо півколо з радіусом 1 та центром у початку координат.

Як уже відомо, в прямокутному трикутнику синус гострого кута визначається як відношення протилежного катета до гіпотенузи, а косинус гострого кута — як відношення прилеглого катета до гіпотенузи.

У трикутнику AOX:

sinα=AXAO;cosα=OXAO

Оскільки радіус півкола R=AO=1, то sinα=AX;cosα=OX.

Довжина відрізка AX дорівнює величині координати y точки A, а довжина відрізка OX — величині координати x точки A:

A(cosα;sinα)

Отже, для кутів 0°≤α≤180° бачимо, що −1≤cosα≤1;0≤sinα≤1.

У прямокутному трикутнику тангенс гострого кута дорівнює відношенню протилежного катета до прилеглого катета. Отже:

tgα=AXЇ/OX=sinα/cosα

Використовуючи одиничне півколо та розглянену інформацію, визначимо синус, косинус і тангенс для 0°;90°;180°.

sin0°=0;cos0°=1;tg0°=0sin90°=1;cos90°=0;tg90°не існуєsin180°=0;cos180°=−1;tg180°=0

Розглянемо обидва гострих кути в трикутнику AOX. Якщо разом вони утворюють 90°, то обидва виразимо через α:

Якщо sinα=AX/AO;cosα=OX/AO, то sin(90°−α)=OX/AO;cos(90°−α)=AX/AO.

Ми бачимо, що правильними є рівності:

cos(90°−α)=sinαsin(90°−α)=cosα

Розглянемо тупий кут, який також виразимо через α:

Правильними є наступні рівності:

sin(180°−α)=sinαcos(180°−α)=−cosα

Ці формули називаються формулами зведення:

cos(90°−α)=sinαsin(90°−α)=cosα

sin(180°−α)=sinαcos(180°−α)=−cosα

Якщо в трикутнику AOX застосувати теорему Піфагора, отримаємо AX²+OX²=1. Замінивши відрізки, відповідно, на синус і косинус, запишемо головну тригонометричну тотожність:

sin²α+cos²α=1

Ця тотожність дозволяє обчислити величину синуса кута, якщо відомий косинус
(як уже зазначено, синус для кутів 0°≤α≤180° лише 0 або додатний):

sin²α+cos²α=1sin²α=1−cos²αsinα=1−cos²α−−−−−−−−−√

або величину косинуса кута, якщо відомий синус:

sin²α+cos²α=1cos²α=1−sin²αcosα=±1−sin²α−−−−−−−−−√

Для гострих кутів косинус додатний, а для тупих кутів беремо від'ємне значення.

Теоретичний матеріал стор.5.

Класна робота

№1

Чому дорівнює значення тригонометричної функції?

(У віконці для відповіді впиши знак + або −)

Відповідь: sin150° =

№2

Напиши до поданого тригонометричного виразу тотожний вираз, який містить гострий кут.

(У першому віконці впиши знак + або −)

Відповідь: sin112° = 

№14

№15 стор.12

№17

№19

№21

Домашня робота

№18, №20, №22 стор. 12

Для закріплення матеріала виконайте тестування.