Розв’язування задач. Розкладання многочленів на множники

Многочлен можна розкласти на множники за допомогою формул скороченого множення, записаних у вигляді:

a²−b²=(a−b)(a+b) (різниця квадратів)

a³−b³=(a−b)(a²+ab+b²) (різниця кубів)

a³+b³=(a+b)(a²−ab+b²) (сума кубів)

a²+2ab+b²=(a+b)² (квадрат суми)

a²−2ab+b²=(a−b)² (квадрат різниці)

Зауважте, що в лівій частині два або три члени.Розглянемо на прикладах.

Приклад:

Завдання 1. Розкласти на множники:

16x²−9.

Розв'язання:Скористаємося формулою різниці квадратів:

16x²−9=(4x)²−32=(4x−3)(4x+3)

Завдання 2. Розкласти на множники:

27a³−8b³.

Розв'язання:Скористаємося формулою різниці кубів:

27a³−8b³=(3a)³−(2b)³=(3a−2b)((3a)²+3a⋅2b+(2b)²)==(3a−2b)(9a²+6ab+4b²).

Завдання 3. Розкласти на множники:

x¹²+27y³.Розв'язання:Скористаємося формулою суми кубів:

x¹²+27y³=(x⁴)³+(3y)³=(x4+3y)⋅((x⁴)²−x⁴⋅3y+(3y)²)==(x⁴+3y)(x⁸−3x⁴y+9y²).

Завдання 4. Розкласти на множники:

a⁴+2a²+1.

Розв'язання:Скористаємося формулою квадрата суми:a⁴+2a²+1=(a²)²+12+2⋅a²⋅1=(a²+1)².

Завдання 5. Розкласти на множники:

g²−4gp+4p².Розв'язання:Скористаємося формулою квадрата різниці:g²−4gp+4p²=g²+(2p)²−2⋅g⋅2p=(g−2p)². 

Класна робота

1. Розкласти на множники многочлен: а³ + b³

А)(а+с)(а-с);  б)(а+с)(а²+ас+с²);  в)(а+с)(а²-ас+с²);  г)(а-с)(а²+ас+с²)

2. Розв’язати рівняння: х²-6х+9=0.

А) -3;  б) 3; в) 0;  г) 6.

3.  Розкласти на множники 7у²+14у+7:

А) 7(у²+2у+1); б) 7(у+1)²;  в) (7у+1)²;  г) вірної відповіді немає.

4. Розв’язати рівняння х²-4=0.

А) 4;  б) 2;  в) -4;4;  г) -2;2.

5. Установити відповідність між  виразами  ( 1-4)

і  їх розкладами на множники  ( А-Д).

6.  Розкласти на множники:

1) х³+125у³.            2) -5х²+30х-45.                  3) а⁵-а;        

4) а+b+a²-b²;          5) х²+8ху+16у²-1.              6) 5х³-5у³;   

7. Розв’язати рівняння:

1) х³ – 64х = 0;                         2) х²+4х+4=0;                         

3) х² – 4х –5(4–х)=0;              4) х³+2х²–18х–36=0;

5) х²–6х+8=0.                         

8. Обчислити значення виразу , використавши формули скороченого множення.

9.  Доведіть, що вираз 2¹²+5³ ділиться без остачі на 21.

Домашня робота