Розв'язування вправ. Скалярний добуток векторів.

Для актуалізації опорних знань виконайте онлайнвправу.

Скалярним добутком двох векторів a→ і b→ буде скалярна величина (число), що дорівнює добутку модулів цих векторів, помножене на косинус кута між ними:

a→⋅b→=∣∣a→∣∣⋅∣∣∣b→∣∣∣⋅cosα

Дуже важливо правильно визначати кут між векторами. Якщо вектори не мають спільної початкової точки, необхідно уявити, який кут утворився б, якби їх перемістили до спільної початкової точки.

Кут між векторами позначають a→b→ˆ=α.

1. Якщо вектори співнапрямлені, то a→b→ˆ=0°:

Зверни увагу!

Оскільки косинус кута величиною 0° дорівнює 1, то скалярний добуток співнапрямлених векторів є добутком їхніх довжин.

Якщо два вектори рівні, то такий скалярний добуток називають скалярним квадратом.

2. Якщо вектори протилежно напрямлені, то a→b→ˆ=180°:

Зверни увагу!

Оскільки косинус кута величиною 180° дорівнює −1, то скалярний добуток протилежно напрямлених векторів дорівнює від'ємному добутку їхніх довжин.

3. Вектори називають перпендикулярними, якщо a→b→ˆ=90°:

Зверни увагу!

Оскільки косинус прямого кута дорівнює 0, то скалярний добуток перпендикулярних векторів дорівнює 0.

4. Потрібно уважно розглянути випадки, коли вектори утворюють тупий кут:

Зверни увагу!

Оскільки косинус тупого кута від'ємний, то скалярний добуток векторів, які утворюють тупий кут, є від'ємним.

Скалярний добуток векторів, заданих координатами

Якщо a→(xa;ya) і b→(xb;yb), то a→⋅b→=xa⋅xb+ya⋅yb.

Оскільки в координатах ∣∣a→∣∣=xa2+ya2−−−−−−−−√  і  ∣∣∣b→∣∣∣=xb2+yb2−−−−−−−−√, то можна визначити косинус кута між векторами, а отже й величину кута.

cosα=a→⋅b→∣∣a→∣∣⋅∣∣∣b→∣∣∣cosα=xa⋅xb+ya⋅ybxa2+ya2−−−−−−−√⋅xb2+yb2−−−−−−−√

Властивості скалярного добутку векторів

1. Скалярний добуток вектора самого на себе завжди більший або дорівнює нулю.

Скалярний добуток вектора самого на себе дорівнює нулю тоді й тільки тоді, коли вектор дорівнює нульовому вектору:

a→⋅a→>0;0→⋅0→=0

2. Скалярний добуток вектора самого на себе дорівнює квадрату його модуля:

a→⋅a→=∣∣a→∣∣2

3. Для скалярного добутку діє переставний закон:

a→⋅b→=b→⋅a→

4. Для скалярного добутку діє розподільний закон:

(a→+b→)⋅c→=a→⋅c→+b→⋅c→

5.  Для скалярного добутку діє сполучний закон:

(k⋅a→)⋅b→=k⋅(a→⋅b→)

6. Якщо скалярний добуток двох ненульових векторів дорівнює нулю, то ці вектори перпендикулярні.

Класна робота

№1

Обчисли скалярний добуток векторів a→ і b→, якщо a→(−4;3) і b→(5;2).

Відповідь: a→⋅b→=

№591 стор. 153

№592

№ 594

№596

№598

№599

№600

Для закріплення вивченого матеріалу виконайте онлайнвправу.

Домашня робота

№588, №593, №597 стор. 153