Розв’язування вправ. Самостійна робота. Координати на площині.

Рівняння кола

Використаємо два відомих факти і виведемо рівняння кола:

1. Усі точки кола розташовані на даній відстані (радіус) від даної точки (центр).

2. Ми маємо формулу для розрахунку відстані між двома точками, якщо знаємо координати точок |AB|=(xA−xB)2+(yA−yB)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√, а якщо так, то квадрат відстані:

AB2=(xA−xB)2+(yA−yB)2

Припустимо, що центр кола розташовується в точці C(xC;yC), а радіус кола дорівнює R.

Будь-яка точка P(x;y) на цьому колі розташована на відстані R від центру C, отже правильною є рівність:

(x−xC)2+(y−yC)2=R2

Це і є рівняння кола з центром C і радіусом R. Координати всіх точок, які розташовані на колі, задовольняють рівняння.

Якщо центр кола розташований на початку координат (0;0), то рівняння має наступний вигляд:

x2+y2=R2

Рівняння прямої

Для виведення рівняння прямої проведемо цю пряму як серединний перпендикуляр деякого відрізка з даними координатами кінцевих точок відрізка.

Відомо, що всі точки серединного перпендикуляра розташовані на рівних відстанях від кінців відрізка.

Координати кінців відрізка: A(xA;yA) і B(xB;yB)

Будь-яка точка P(x;y) розташовується на рівних відстанях від кінцевих точок PA=PB.

Звісно, рівні й квадрати відстаней PA2=PB2, тож правильною є рівність

(x−xA)2+(y−yA)2=(x−xB)2+(y−yB)2, яка і є рівнянням прямої. 

Після зведення виразів у дужках і зведення подібних доданків:

x2−2⋅x⋅xA+(xA)2+y2−2⋅y⋅yA+(yA)2=x2−2⋅x⋅xB+(xB)2+y2−2⋅y⋅yB+(yB)22⋅x⋅xB−2⋅x⋅xA+2⋅y⋅yB−2⋅y⋅yA+(xA)2−(xB)2+(yA)2−(yB)2=0(2xB−2xA)⋅x+(2yB−2yA)⋅y+((xA)2−(xB)2+(yA)2−(yB)2)=0

рівняння матиме такий вигляд:

ax+by+c=0a=2(xB−xA)b=2(yB−yA)c=(xA)2−(xB)2+(yA)2−(yB)2

Розглянемо особливі прямі.

1. Пряма проходить через деяку точку на осі Ox з координатами A(xA;0).

Для будь-якої точки на цій прямій x=xA. Це і є рівняння прямої.

Оскільки вісь Oy проходить через початок координат, то рівнянням осі Oy є x=0.

2. Пряма проходить через деяку точку на осі Oy з координатами B(0;yB).

Для будь-якої точки на цій прямій y=yB, це і є рівняння прямої.

Оскільки вісь Ox проходить через початок координат, то рівнянням осі Ox є y=0.

Класна робота

№1-№12 стор. 107

Самостійна робота

1. Знайти довжину діаметра кола, якщо його кінцями є точки з координатами (3;4) та (2;-1)
   

2. Знайти координати точок перетину кола (х-4)²+у²=25 з віссю у.

3. Складіть рівняння кола з центром на прямій х=-3, яке дотикається вісі у в точці (0;2).

4. В трикутнику АВС з вершинами в точках A(2;-1);В(-1;3);С(-3;1) проведена медіана AD. Знайти довжину цієї медіани та скласти рівняння прямої, що містить цю медіану.

5. Складіть рівняння кола, що дотикається осей х та у та прямої у=6
   

Домашня робота

1. Складіть рівняння кола, що проходить через точки (0;2), (4;0) та (4;2).
   

2. Складіть рівняння прямої, яка проходить через точки (-3;1) та (2;-2)

3. В трикутнику АВС з вершинами в точках А(2;-3), В(-2;3), С(6;-3) проведено середню лінію В1С1, паралельно стороні ВС. Знайдіть довжину і склади рівняння цієї середньої лінії.