Розв’язування типових вправ. Самостійна робота. Ознаки рівності трикутників.

Якщо два трикутники, які можна сумістити за допомогою накладання, називають рівними.

При накладанні трикутників збігаються всі сторони та всі кути.

Якщо два трикутники рівні, то елементи (сторони й кути) одного трикутника відповідно дорівнюють елементам другого трикутника.

Розглянемо рівні трикутники ΔABC і ΔA1B1C1.
В результаті накладання відповідно сумістяться сторони й кути цих трикутників, тобто кожному елементу трикутника ΔABCвідповідатиме рівний елемент трикутника  ΔA1B1C1.

Зверни увагу!

В записі назви трикутників впорядковуються так, щоб вершини рівних кутів зазначалися в порядку відповідності. Це означає, що якщо:
ΔABC = ΔA1B1C1, то справджуються шість рівностей відповідних елементів: три — для кутів і три — для сторін.
AB=A1B1;∠A=∠A1;BC=B1C1;∠B=∠B1;AC=A1C1;∠C=∠C1.

На рисунках відповідно рівні сторони зазвичай позначають однаковою кількістю рисок, а відповідно рівні кути — однаковою кількістю дужок.

Перша ознака рівності трикутників

Якщо дві сторони і кут між ними одного трикутника відповідно дорівнюють двом сторонам і куту між ними іншого трикутника, то такі трикутники рівні.

MN=PRKN=TR∠N=∠R

Чи достатньо цієї інформації для доведення рівності трикутників? Чи можна накласти фігури одна на одну?

1. Оскільки ∠N=∠R, то ΔMNK можна накласти на ΔPRT  так, що вершина N суміститься з вершиною R, а сторони NM і NK сумістяться, відповідно, з променями RP і RT.

2. Оскільки MN=PR,KN=TR, то сторона MN суміститься зі стороною PR, а сторона KN — зі стороною TR. Зокрема, сумістяться точки M і P, K і T.

3. Сумістяться сторони MK і PT. Отже, ΔMNK і ΔPRT повністю накладаються, тому вони рівні.

Друга ознака рівності трикутників

Якщо сторона і два прилеглих до неї кути одного трикутника відповідно дорівнюють стороні та двом прилеглим до неї кутам іншого трикутника, то такі трикутники рівні.

MN=PR∠N=∠R∠M=∠P

Як і при доведенні першої ознаки, потрібно переконатися, чи достатньо цих даних для рівності трикутників. Чи можна накласти трикутники один на одний?

1. Оскільки MN=PR, то ці відрізки накладаються, якщо поєднати їхні кінцеві точки.

2. Оскільки ∠N=∠R і ∠M=∠P, то промені MK і NK накладуться відповідно на промені PT і RT.

3. Якщо збігаються промені, то збігаються точки їх перетину K і T.

4. Поєднано всі вершини трикутників, тобто ΔMNK і ΔPRT повністю накладаються. Отже, трикутники рівні.

Класна робота

№ 1

У рівнобедреному трикутнику ABC з основою AC= 26 cм проведено бісектрису кута ∠ABC Використовуючи другу ознаку рівності трикутників, доведи, що відрізок BD є медіаною, визнач довжину відрізка AD.

1. ∠A = ∠, кути рівнобедреного трикутника прилеглі до основи.

2. ∠ = ∠CBD, за властивістю бісектриси.

3. Сторони AB=CB у ΔABD та ΔCBD рівні, оскільки ΔABC — .

За другою ознакою рівності трикутників ΔABD та ΔCBD рівні.

Отже, у рівних трикутників рівними є відповідні елементи, то AD=CD. Це означає, що відрізок BD ділить сторону AC навпіл, тобто є медіаною даного трикутника.

AD =  см

Самостіна робота

1. За якими елементами не можна встановити рівність трикутників?

А) за трьома сторонами;                                           В) За стороною і 2 прилеглими кутами;

Б) за 2 сторонами і кутом між ними;                    Г) за трьома кутами.

2. У ∆АВС і ∆ DFE: АВ=DF, ∠А=∠F. Рівність яких елементів треба додати, щоб ∆АВС = ∆ DFE?

А)  ВС= DE;                        Б) АС=FE;                          B) ∠С=∠Е

3. На рисунку ∠АВК=∠СВК, ∠ВКА=∠ВКС, АВ=7 см. Знайдіть довжину ВС.

4. На рисунку АВ = СD, BC = AD. Знайдіть ∠ BCD, ∠BAD = 43º.

Домашня робота

№ 4, №5 стор 94.