Розв'язування трикутників

Розв'язати трикутник - означає знайти всі його невідомі кути та сторони.

Для розв'язування трикутників користуються такими властивостями:

• Сума кутів трикутника дорівнює 180⁰

• Квадрат будь-якої сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін без подвоєного добутку цих

  сторін на косинус кута між ними. $a^2=b^2+c^2-2bc\cdot\cos\alpha$, $b^2=a^2+c^2-2ac\cdot\cos\beta$,$c^2=a^2+b^2-2ab\cdot\cos\gamma$

• Якщо відомі всі сторони трикутника , завжди можна знайти косинус будь-якого його кута за формулами $\cos\alpha=\frac{c^2+b^2-a^2}{2cb}$$\cos\beta=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$$\cos\gamma=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$

• Сторони трикутника пропорційні синусам протилежних кутів.$\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}$

• З теореми синусів можна користуватися наслідками $R=\frac{a}{2\sin\alpha}$, $a=2R\sin\alpha$, аналогічноі для інших сторін.

• Щоб з'ясувати вид трикутника за кутами, потрібно знайти косинус найбільшого кута (найбільший кут лежить навпроти найбільшої сторони). Якщо він додатній, то трикутник гострокутний, якщо косинус найбільшого кута дорівнює 0, то трикутник прямокутний, а якщо косинус цього кута від'ємний , то трикутник тупокутний.

Задача 1.

Запишіть теорему косинусів для сторін трикутника MKS.

Розв'язання:

$MK^2=MS^2+KS^2-2\cdot MS\cdot KS\cdot\cos S$

$KS^2=MS^2+MK^2-2\cdot MS\cdot MK\cdot\cos M$

$SM^2=MK^2+KS^2-2\cdot MK\cdot KS\cdot\cos K$

Задача 2

Запиши теорему синусів для сторін трикутника $FQR$

Розв'язання: $\frac{FQ}{\sin R}=\frac{FR}{\sin Q}=\frac{QR}{\sin F}$

Задача 3

Знайди косинус кута B трикутника АВС, якщо a = 8 см, b = 7 см, c = 6 см. Результат округли до сотих.

Розв'язання: З теореми косинусів маємо $\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{64+36-49}{2\cdot8\cdot6}=\frac{51}{96}=0,53125$Округливши до сотих маємо результат $\cos B=0,53$

Відповідь : 0,53

Задача 4

Визнач вид трикутника зі сторонами a = 2 см, b = 3 см і c = 4 см.

Розв'язання: Щоб визначити вид трикутника потрібно знайти косинус найбільшого кутаю Найбільший кут лежить навпроти найбільшої сторони. Отже, найбільший кут С.

$\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{4+9-16}{12}=-\frac14$. Так як косинус найбільшого кута від'ємний, то трикутник тупокутний

Задача 5

У трикутнику ABC: AB = 6 см, ∠A = 45°, ∠C = 60°. Знайди AC. Результат округлити до сотих.

Розв'язання: Згідно теореми синусів $\frac{AB}{\sin C}=\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}$, так як сума кутів трикутника дорівнює 180⁰, то

∠В= 180⁰-(45⁰+60⁰)=75⁰. За таблицями (або за допомогою калькулятора) знаходимо синуси кутів, та обчислюємо довжину сторони АС, результат округлюємо до сотих.

Звідси $AC=\frac{AB\cdot\sin B}{\sin C}=\frac{6\cdot0,97}{0,87}=6,69$

Відповідь: 6,69