Розв’язування логарифмічних рівнянь

Доброго дня, шановні діти! Запрошую вас на урок алгебри.

Тема уроку: Розв’язування логарифмічних  рівнянь

Почнемо за посиланням:

https://us05web.zoom.us/j/5283361462?pwd=NFk4QW1rSGNhRExFVkR4WkM3aUxRdz09

Ідентифікатор конференції: 528 336 1462

Код доступу: 12345

1) log₂x=3

Розв'язок. Рівняння, що містять змінну під знаком логарифма              (в основі логарифма), називаються логарифмічними.

Найпростішим логарифмічним рівнянням є рівняння виду

log_a x=b, де основа a>1,a≠1, а вираз, що стоїть під знаком логарифма, x>0.

Для будь-якого дійсного b це рівняння має єдиний розв'язок x=a^b

Приклад:

Розв'язати рівняння

Спочатку знаходимо область допустимих значень (ОДЗ): x>0,

оскільки під знаком логарифма повинен бути додатний вираз.
Для розв'язання даного рівняння, достатньо скористатися означенням логарифма, тобто подати число x, як степінь основи 2 логарифма, причому показник степеня дорівнює 3.

log₂x=3

ОДЗ: х>0,

x=2³ ,

x=8 .

Знайдене значення належить ОДЗ, отже, є коренем рівняння.

Відповідь:  8

Знайти корені рівняння:

log₃ (-х)=4; 

log₂ (1-х)=3;

3)Розв'язати рівняння: lg(x+1)+lg(x+4)=1.

Розв'язок

За властивістю логарифма  log_a х + log_a у =log_a  (ху)
lg(x+1)(x+4)=1

Знайдемо ОДЗ:

    x+4>0. 

х+1>0

x>−4. x>−1.

x∈(−1;+∞)        

(x+1)(x+4)= 10¹   
x²+5x+4−10=0

x²+5x−6=0

За теоремою Вієта

x₁⋅x₂=−6;   ⇒  x₁=−6  ,x₂=1

x=−6   не є коренем цього рівняння, бо не належить ОДЗ.

Відповідь:1

4)lg (8-х) = lg (x+12).
ОДЗ:

  x+12 >0.                 x>-12 

   х< 8;           х< 8;  

x ∈ (−12;8)                             

Вирази рівні, основи рівні, тому:

8-х = x+12;

2х= -4;

х=-2 Є ОДЗ

Відповідь:-2

Знайти корені рівняння:

6) log²₂ х- log₂ х -6=0

Заміна: log₂ х=t;

Маємо рівняння: t² – t - 6=0;

t_{1 =}                           t₂₌

log₂ х=t₁;                      log₂ х=t₂;

Відповідь:

 7)  log₂ log₃ x= 1

     log₃ x= 2¹

      х=3²

       ^х=9

Відповідь:9.

Домашнє завдання:

Стор 34.п 4-6. Повторити властивості логарифмів.

Розвяжіть рівняння:

1)lg(x+4)=lg(20-x);

2)log₁₅ х+ log₁₅ (х+2) =1;

3) log₃ log₂ x= 1

4) lg² х- 2lg х -8=0.