Правильні многокутники

Многокутник

Многокутник — це проста замкнена ламана лінія і кінцева частина площини, яку вона обмежує.

Вершини ламаної лінії називаються вершинами многокутника, а її ланки — сторонами многокутника.

Відрізки, які з'єднують вершини і не належать одній стороні, називаються діагоналями многокутника.

A, B, C, D, E — вершини;

AB, BC, CD, DE, AE — сторони;

AC, AD, BE, BD, CE — діагоналі.

Многокутник, у якого всі кути менші, ніж 180°, називається опуклим многокутником.

П'ятикутник ABCDE є опуклим многокутником.

Сума кутів опуклого n-кутника

У загальному випадку многокутник можна назвати n-кутником. Це означає, що в даного многокутника n сторін та n вершин.

Сума кутів опуклого n-кутника дорівнює 180°⋅(n−2).

Будь-який опуклий многокутник можна поділити на трикутники. Кількість трикутників на 2 менша, ніж кількість сторін у многокутнику.

Сума внутрішніх кутів будь-якого трикутника дорівнює 180°.

Тому сума кутів опуклого n-кутника дорівнює 180°⋅(n−2).

Приклад:

Обчисли суму внутрішніх кутів опуклого одинадцятикутника.

Можна намалювати малюнок, але це необов'язково для розв'язання завдання.

Використаємо формулу:

180°⋅(n−2)=180°⋅(11−2)=180°⋅9=1620°

Правильні многокутники

Правильними називаються многокутники, в яких усі сторони та кути рівні.

На малюнку бачимо деякі правильні многокутники: трикутник, чотирикутник (квадрат), п'ятикутник і шестикутник.

Якщо в правильних опуклих многокутниках провести діагоналі, то утворяться правильні увігнуті многокутники: із діагоналей п'ятикутника отримаємо пентаграму, з діагоналей шестикутника — гексаграму, а з діагоналей семикутника — дві різні гептаграми.

Якщо провести всі діагоналі з однієї вершини, будь-який n-кутник можна поділити на n − 2 трикутники.

Отже, сума всіх внутрішніх кутів визначається за формулою 180°⋅(n−2).

Оскільки всі кути правильного n-кутника рівні, то величина одного внутрішнього кута дорівнює:

180°⋅(n−2)/n

Навколо будь-якого правильного многокутника можна описати і вписати в нього коло. При цьому збігаються центри обох кіл, і цю точку називають центром многокутника.

Вписане коло належить усім сторонам, описане коло проходить через усі вершини.

∠AOH=360°/n;

∠AOK=360°/2n=180°/n

У трикутнику AOK пов'язані сторона a (половина сторони AK), радіус описаного кола OA=R і радіус вписаного кола OK=r.

R=a/2sin180°/n

r=a/2tg180°/n

r=R⋅cos180°/n;

R=r/cos180°/n

Для правильного трикутника і квадрата додатково діють усі формули, які були розглянено в курсі геометрії.

У коло вписаний правильний шестикутник ABCDEF.

Обчисли градусну міру дуги.

Відповідь: CB= __°

Обчисли радіус кола, описаного навколо рівностороннього трикутника, якщо його сторона дорівнює 4√3 дм.

R= …

Прикріпити фото домашнього завдання №6.11

Прикріпити фото домашнього завдання №6.13