Показникові рівняння

Доброго дня, шановні діти! Рада вітати вас на уроці алгебри.

Тема нашого уроку: Показникові рівняння.

Перейдіть за посиланням:

https://us05web.zoom.us/j/5283361462?pwd=6Uwndl2tOVQ2tSbIM9mKoDKqeICwai.1&omn=84283504102

ідентифікатор конференції: 528 336 1462

Код доступа: 12345

ПОКАЗНИКОВА ФУНКЦІЯ. ПОКАЗНИКОВІ РІВНЯННЯ, НЕРІВНОСТІ ТА ЇХ СИСТЕМИ

Найпростішим показниковим рівнянням є рівняння

а^x = b, b > 0, а > 0

Оскільки множина значень функції у = а^x — множина додатних чисел, то рівняння а^x = b:

• 1) має один корінь, якщо b > 0

• 2) не має коренів, якщо b ≤ 0

Для того щоб розв’язати рівняння a^x = b, де а > 0, а ≠ 1, b > 0, треба b подати у вигляді b = а^c, тоді будемо мати а^x = a^c, звідси х = с.

РОЗГЛЯНЕМО ПРИКЛАДИ.

Приклад 1. Розв’яжіть рівняння 5^x = 125.

Розв'язання

Оскільки 5^х = 125, а 125 = 5³, то маємо 5^х = 5³, звідси х = 3.

Відповідь: 3.

Приклад 2. Розв’яжіть рівняння ()^x = 49.

Оскільки, 49 = 7² = ()^-2, то ()^x = ()^-2 звідси, x = -2. Відповідь: -2.

Приклад 3. Розв’яжіть рівняння 15^x2-5x+6 = 1.

Розв'язання

Оскільки, 1 = 15⁰, то 15^х2-5х+6 = 15⁰, x² - 5X + 6 = 0, звідси x₁ = 2, х₂ = 3.

Відповідь: 2; 3.

Приклад 4. Розв’яжіть рівняння 2^х-2 = -2.

Розв'язання

Оскільки 2^х-2 > 0 при всіх знаменнях x, то рівняння коренів не має.

Відповідь: немає коренів.

Розглянемо деякі способи розв’язування показникових рівнянь.

І спосіб. Приведення рівняння до спільної основи, тобто до рівняння a^f(x) = а^g(х).

Приклад 5. Розв’яжіть рівняння: 2^х ∙ 5^х = 0,1(10^х-1)3.

Розв'язання

2^х∙ 5^х = 0,1(10^х-1)³;

10^х = 10^-1∙ 10^3х-3;

10^х = 10^3х-4;

х = 3х - 4;

х = 2.

Відповідь: 2.

ІІ спосіб. Винесення спільного множника за дужки.

Приклад 1. Розв’яжіть рівняння: 3^х - 2 ∙ 3^х-2 = 63.

Розв'язання

3^x - 2 ∙ 3^x-2 = 63;

3^х-2 (3² - 2) = 63;

3^х-2∙ 7 = 63;

3^х-2 = 9;

x - 2 = 2;

x = 4.

Відповідь: 4.

ІІI спосіб. Приведення рівняння до квадратного.

Приклад 4. Розв'яжіть рівняння: 49^x - 8 ∙ 7^x + 7 = 0.

Розв'язання

49^x - 8 ∙ 7^x + 7 = 0;

(7²)^x - 8 ∙ 7^x + 7 = 0;

(7^x)²- 8 ∙ 7^x + 7 = 0.

Нехай 7^х = t, тоді t² - 8t + 7 = 0;

t₁ = 7; t₂ = 1.

Отже. 1)7^x = 7; х = 1;

2) 7^x = 1; 7^x = 7⁰; x = 0.

Відповідь: 1; 0.

Сфотографуй своє домашнє завдання і надішли для перевірки.

Домашнє завдання: Впр.2.4( 1; 2), Впр.Впр.2.5 (1,2)