Подібність фігур. Перетворення подібності

Перетворенням подібності називають таке перетворення фігури F на фігуру F1, унаслідок якого відстані між точками змінюються в однакову кількість разів.

Якщо довільні точки x і y фігури F при перетворенні подібності переходять у точки x1, y1 фігури  F1, то  x1y1=k・xy, де k>0 - коефіцієнт подібності.

Властивості перетворення подібності:

1. Перетворення подібності переводить прямі у прямі; промені - в промені; відрізки - у відрізки;

2. Кожна фігура подібна сама собі з коефіцієнтом подібності k=1.

3. Перетворення подібності зберігає величину кутів між променями.

Розглянемо перетворення подібності, яке носить назву гомотетія.

Гомотетією з центром в точці О називають таке перетвореня фігури F на фігуру F1, унаслідок якого кожна точка Х фігури F переходить у точку Х1 фігури F1 так, що точка Х1 лежить на промені ОХ і  ОХ1= k・OX.

k - коефіцієнт гомотетії, О - центр гомотетії.

Фігури F і F1 - гомотетичні.

Властивості гомотетії:

1. Гомотетія з коефіцієнтом k є перетворенням подібності з коефіцієнтом k.

2. При гомотетії пряма переходить у паралельну їй пряму або сама в себе; відрізок - у паралельний йому відрізок; кут - у рівний йому кут.

3. На координатній площині гомотетія точок А(х,у) і В(х1,у1) задається формулами:      х1= kx,

                                    y1=ky

Подібні фігури:

Дві фігури F і  F1 подібні, якщо для двох довільних точок фігури F - X  і Y і відповідних точок фігури F1 - X1 і Y1, виконується умова: X1Y1/XY=k, де  k - коефіцієнт подібності.

Дві фігури подібні, якщо вони переводяться одна в одну перетворенням подібності

Властивості подібних фігур:

1. Кожна фігура подібна сама собі F~F при  k=1.

2. Якщо фігура F подібна фігурі F1 з коефіцієнтом подібності k, то фігура F1~F з коефіцієнтом 1/k.

3. Якщо фігура F1~F2 з коефіцієнтом k1,  F2~F3 з коефіцієнтом k2, то F1~F3 з коефіцієнтом k1・k2.

4. Відношення площ подібних фігур дорівнює квадрату коефіцієнта подібності S1/S=k² якщо F~F1 з коефіцієнтом k.

   Розв'язування задач.

   №20.35

   Дано: Точка А(2; -3) - образ точки В(8; 6) при гомотетії з центром в точці М(4;0)

   Знайти: коефіцієнт гомотетії k.

   Розв’язання:

   МА(2-4; -3-0)= (-2; -3)

   МВ (8-4; 6-0)= (4; 6)

   МА॥ МВ, тоді -2/4=-3/6=-½=k.

   № 20.37(2)

   Дано: Точка А1(х; 4) - образ точки А(-6; у) при гомотетії з центром у початку координат і k=-2.

   Знайдіть: х і у.

   Розв’язання:

   ОА॥ОА1, ОА1=k OA. ОА1=-2・OA

   (x; 4)=(-2・(-6); -2y)

      x=12

      y=-2

   Задача.

   Дано: ΔАВС, пряма МК॥АС, ВМ =4см, АС=8 см, АМ=МК, S ΔMBK=5см².

   Знайти: S ΔАВС

   

   Розв’язання:

    ΔАВС~ΔМВК, тоді АВ/МВ=ВС/ВК=АС/МК

   Нехай АМ=МК=х, тоді АВ=АМ+МВ=х+4

   (х+4)/4=8/х;  х(х+4)=32; х²+4х-32=0

   х1=4;  х2=-8 (сторонній корінь)

   АМ=МК= 4см, АВ=4+4=8 см; АВ/МВ=8/4=2/1; S ΔАВС/S ΔMBK=2²; S ΔАВС=20см²

Виконайте тренувальні вправи № 20.36, 20.38, 20.41, 20.44, 20.46.