Перпендикулярні та паралельні прямі. Ознаки та властивості паралельних прямих

Перпендикулярні та паралельні прямі

Дві прямі називаються перпендикулярними, якщо вони перетинаються під прямим кутом.

Прямі a і b перпендикулярні. Коротко це позначають так: a⊥b.

Відрізки або промені називаються перпендикулярними, якщо вони лежать на перпендикулярних прямих.

Побудова перпендикулярних прямих

ТЕОРЕМА

Дві прямі, перпендикулярні до третьої, паралельні.

Теорема містить два твердження:
1) існує пряма, що проходить через дану точку площини і є перпендикулярною до даної прямої;
2) така пряма єдина.

Дві прямі на площині називаються

паралельними, якщо вони не

перетинаються.

Прямі a і b паралельні. Коротко це позначають так: a∥b.

Побудова паралельних прямих

Ознаки паралельності прямих

Нехай пряма c перетинає прямі a і b у двох різних точках. У такому разі кажуть, що пряма c є січною прямих a і b. У результаті такого перетину двох прямих третьою утворюються пари нерозгорнутих кутів, які мають спеціальні назви:

• внутрішні різносторонні кути лежать між прямими a і b по різні боки від січної: ∠3і∠5;∠2і∠8;

• внутрішні односторонні кути лежать між прямими a і b по один бік від січної: ∠3і∠8;∠2і∠5;

• відповідні кути лежать по один бік від січної, причому сторона одного з них є частиною сторони другого: ∠1і∠5;∠4і∠8;∠2і∠6;∠3і∠7

Якщо при перетині двох прямих січною виконується принаймні одна з умов:
1) внутрішні різносторонні кути рівні;
2) сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180°;
3) відповідні кути рівні,
то дані прямі паралельні.

Властивості паралельних прямих

Ознаки, які ми розглядали раніше, і властивості, які будемо розглядати далі, доводяться різними способами.

Ознака — це певний факт, завдяки якому ми встановлюємо правильність поданого судження про певний об'єкт.

Якщо при перетині двох прямих третьою (січною), внутрішні різносторонні кути рівні, то ці дві прямі паралельні.

Якщо ми впевнені у правильності судження, ми формулюємо властивість об'єкта.

Якщо дві прямі паралельні, то при перетині їх третьою січною різносторонні кути є рівними.

Аксіома — це істина, яку не потрібно доводити. У кожній науці є свої аксіоми, на основі яких будуються всі подальші твердження та доведення.

Аксіома паралельності прямих

На одній площині із заданою прямою через точку, що не лежить на цій прямій, можна провести лише одну пряму, паралельну даній прямій.

Інші властивості паралельних прямих

1. Якщо одна з пари паралельних прямих паралельна третій прямій, то й друга пряма паралельна третій прямій.

2. Якщо певна пряма перетинає одну з двох паралельних прямих, то вона перетинає й другу паралельну пряму.

На рисунку AB ⊥ CD, ∠NOD = 48°. Знайдіть:

1) ∠AOM;

На рисунку AB ⊥ CD, ∠NOD = 48°. Знайдіть:

2) ∠MOB;

На рисунку позначено міри двох кутів, що

утворилися при перетині прямих a і b

січною d. Обчисліть кут 1.

На рисунку позначено міри двох кутів, що

утворилися при перетині прямих a і b

січною d. Обчисліть кут 5.

Пряма AB перетинає пряму CD у точці A, а

пряму MN – у точці B. ∠CAB = 90°, ∠ABN =

90°. Чи паралельні CD і MN?

( У відповіді вкажіть так або ні)