Перпендикуляр і похила

Сьогодні ми з вами поговоримо про такі важливі поняття геометрії, як  перпендикуляр і похила. Цене нові для вас поняття, ви розглядали  їх у 8 класі, коли вивчали прямокутний тpикутник. Тоді ж йшла мова про застосування перпендикуляра і похилої на площині. Що ж, розглянемо означення похилої, перпендикуляра, проекції похилої, властивості перпендикуляра, похилих і проекцій у просторі.

План вивчення нового матеріалу:

• Похила

• Проекція похилої

• Властивості перпендикуляра, похилих і проекцій

Похилою, проведеною з даної точки до даної площини, називається будь-який відрізок, що з'єднує дану точку з точкою площини, який не є перпендикуляром до площини.

На малюнку:  АВ – похила. Кінець відрізка, що лежить в площині, називається основою похилої. В – основа похилої.

Перпендикуляром, проведеним з даної точки до даної площини, називається відрізок, що з'єднує дану точку з точкою площини і лежить на прямій, перпендикулярній площині.

На малюнку: АС – перпендикуляр. Кінець цього відрізка, що лежить у площині, називається основою перпендикуляра (точка С – основа перпендикуляра) Довжина перпендикуляра  називається відстанню від даної  точки  до площини . Відрізок ВС, який сполучає основи перпендикуляра та похилої,  проведених з однієї і тієї самої точки, називають проекцією похилої

CB — проекця похилої AB на площину α. Трикутник ACB прямокутний.

Чи існує залежність між довжинами перпендикуляра й похилої, похилої та її проекції? Відповідь дає така теорема.

Теорема (властивості перпендикуляра й похилої)

Якщо з точки, взятої поза площиною, проведено до площини перпендикуляр і похилі, то:

1. перпендикуляр коротший за будь-яку похилу;

2. проекції рівних похилих є рівними й, навпаки, похилі, що мають рівні проекції, є рівними;

3. з двох похилих більша та, проекція якої більша.

Bci pозглянуті властивості випливають з теореми Піфагора і, на відміну від площини, де з даної точки до прямої можна провести тільки дві рівні похилі, у просторі з точки до площини можна провести нескінченну множину рівних похилих, основи яких утворюють коло.

Теорема про властивості перпендикуляра і похилої застосовується на практиці. Наприклад, якщо встановлюють щоглу на радіостанції, то стяжки беруть рівної довжини. Нижні кінці їх закріпляють на однакових відстанях від основи щогли (рівномірно по колу). Це сприяє стійкості щогли. 

Розвязування вправ

Письмові вправи

Розв’язання простіших задач на похилу та її проекцію на площину  зводиться до розв’язання прямокутного трикутника, сторонами якого є похила, її проекція на площину і перпендикуляр до площини.

Якщо такого трикутника немає на малюнку, то, щоб його утворити, проводимо допоміжні відрізки.

Якщо в задачі йдеться про дві похилі, проведені з однієї точки до площини, то розглядаємо два прямокутних трикутники, спільним катетом яких є перпендикуляр, опущений з даної точки на площину.

Задача 2.  З точки до площини проведені дві похилі, які дорівнюють 10 см і 17 см, а їх проекції відносяться, як 2:5. Знайдіть відстань від даної точки до площини.

Розв’язання.

Якщо дано кілька рівних похилих, проведених з точки до площини, то їх кінці лежать на колі, центром якого є основа перпендикуляра, опущеного на площину зі спільної точки похилих.

Задача 3.  З даної точки до площини проведено три рівні похилі довжиною 14 см. Відстані між кінцями похилих дорівнюють 9 см. Знайдіть відстань від даної точки до площини.

Розв’язання

.

Домашнє завдання:

Задача 1. Знайдіть довжину похилої, якщо довжина перпендикуляра дорівнює 6 см, а проекції похилої на площину – 8 см.

Задача 2. Знайдіть довжину перпендикуляра, якщо довжина похилої становить 17 см, а її проекції на площину – 15 см.