Паралельні прямі

Визначення та доведення ознак паралельності прямих на площині

Дві різні прямі, що лежать на одній площині, мають лише одну спільну точку, або не мають жодної спільної точки.

У першому випадку говорять, що прямі перетинаються, у другому — що прямі не перетинаються.

Дві прямі a і b на площині, які не перетинаються, називаються  паралельними і позначаються a∥b.

Два відрізки називаються паралельними, якщо вони лежать на паралельних прямих.

Аксіома паралельних прямих (аксіома Евкліда)
Через точку, що не лежить на даній прямій, можна провести пряму, паралельну даній, і до того ж тільки одну.

Ознаки паралельності прямих на площині.

1. Дві прямі, паралельні третій, паралельні між собою.

2. Якщо дві прямі на площині перпендикулярні до однієї й тієї самої прямої, вони паралельні.

Цю ознаку легко довести, якщо згадати, що до прямої на площині з будь-якої точки можна провести лише один перпендикуляр.

Припустимо, що прямі, перпендикулярні до однієї й тієї самої прямої, не є паралельними, тобто мають спільну точку.

Виникає суперечність: із однієї точки H до прямої c проведено два перпендикуляри. Таке неможливо, тому дві прямі на площині, перпендикулярні до однієї й тієї самої прямої, є паралельними.

Щоб розглянути інші ознаки, потрібно ознайомитися з деякими видами кутів

1. Пригадаємо, які нам відомі назви та властивості кутів, утворених двома прямими, що перетинаються.

Вертикальні кути рівні: ∠1=∠3;∠2=∠4

Сума суміжних кутів складає 180°:

∠1+∠2=∠2+∠3=∠3+∠4=∠4+∠1=180°

2. Назви та властивості кутів, утворених при перетині двох прямих третьою (січною):

Нехай пряма c перетинає прямі a і b  у двох різних точках. У такому разі кажуть, що пряма c є січною прямих a і b. У результаті такого перетину двох прямих третьою утворюються пари нерозгорнутих кутів, які мають спеціальні назви:

• внутрішні різносторонні кути лежать між прямими a і b по різні боки від січної: ∠3і∠5;∠2і∠8;

• внутрішні односторонні кути лежать між прямими a і b по один бік від січної: ∠3і∠8;∠2і∠5;

• відповідні кути лежать по один бік від січної, причому сторона одного з них є частиною сторони другого: ∠1і∠5;∠4і∠8;∠2і∠6;∠3і∠7.
  

Ці кути допоможуть визначити паралельність прямих a і b.

Доведемо ще кілька ознак паралельності прямих:

Якщо при перетині двох прямих січною виконується принаймні одна з умов:
1) внутрішні різносторонні кути рівні;
2) сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180°;
3) відповідні кути рівні,
то дані прямі паралельні.

Доведемо цю ознаку.

Якщо при перетині прямих a і b прямою c внутрішні різносторонні кути рівні, то прямі a і b паралельні.

Наприклад, якщо ∠3=∠5, то a∥b.

1. Позначимо точки C і D, у яких прямі a і b перетинає пряма c. Через середину відрізка CD точку K цього відрізка проведемо перпендикуляр AB до прямої a.

2. ∠CKA = ∠DKB як вертикальні кути, ∠3 = ∠5 = α, CK=KD, отже ΔCKA = ΔDKB за ознакою про сторону та два кути.

3. Зрозуміло, що якщо ΔCKA прямокутний, то й ΔDKB прямокутний, і AB перпендикулярний до прямої b.

4. Прямі, перпендикулярні до однієї й тієї самої прямої, є паралельними (відповідно до першої доведеної ознаки).

5. У випадку, коли відповідні кути рівні, маємо на увазі, що вертикальні кути рівні, і доводимо, як у пунктах 1–4.

6. У випадку, коли сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180°, маємо на увазі, що сума суміжних кутів також дорівнює 180° і використовуємо в доведенні пункти 1–4.

Ознака паралельних прямих діє і як властивість паралельних прямих.

При перетині двох паралельних прямих третьою січною:

• внутрішні різносторонні кути рівні;
   

• відповідні кути рівні;
   

• сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180°.

Дев'яте листопада

Класна робота

№ 155 стор. 43

№ 156

№ 158

№ 160

Дев'яте листопада

Домашня робота

№ 154, № 157, № 159, № 161 стор. 43