Вивчення нового матеріалу
1. Формула для обчислення довжини вектора. Приклади.
На попередньому занятті ми з вами з’ясували, що довжиною вектора є довжина відповідного йому відрізка. Отже, якщо вектор визначено початком і кінцем в точках відповідно: 
і 
, то довжиною вектора буде величина, що дорівнює:
(1)
Якщо ж координати вектора відомі: 
, то його довжина відповідно буде дорівнювати:
. (2)
Для закріплення нових формул пропоную наступні приклади:
№1. Дано точки 
і 
. Знайти довжину вектора 
.
Розв’язування.
За формулою (1): 
= 
=
=
.
№2. Знайти довжину вектора 
.
Розв’язування.
За формулою (2): 
=
=
№3. Знайти довжину вектора 
, якщо 
; 
.
Розв’язування.
, тоді 
№4. Знайдіть довжину діагоналі АС паралелограма ABCD, якщо А (2; - 6; 0), В (-4; 8; 2), D (0;-12;0).
Розв'язування
Оскільки 
(- 6; 14; 2), 
(-2; -6; 0), то 
= + , AC (-8; 8; 2)
(рис. 300).
Тоді 
= 
= 
= 2
(лін. од. )
2. Скалярний добуток векторів. Приклади.
Скалярним добутком векторів 
(
) ) ∙ 
(
) називається число (скаляр)
· = 
. (3)
№5. Знайдіть · , якщо (-2; 3; 1), (-4; -5; 2).
Розв’язування.
· =-2
№6. Дано вектори (2; -1; 4), (5; 3; n). При якому значенні п скалярний добуток векторів дорівнює -3?
Розв’язування.
· =2
;
10-3+4n=-3;
4n= -10;
n= -2, 5
Із означення скалярного добутку двох векторів і випливають його властивості:
1) · = · .
2) ( + ) · 
= · + · .
3) Скалярний добуток векторів і дорівнює добутку їх абсолютних величин на косинус кута між ними (рис. 297):
· = · cos φ (4)
Наслідки із властивості 3:
1) 
2) Два відмінні від нуля вектори і перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли їх скалярний добуток дорівнює нулю.
3. Кут між векторами, що задані своїми координатами. Умова ортогональності векторів. Приклади.
Як видно було із наслідка з властивості 3 скалярного добутку:
Якщо дану рівність записати у координатному вигляді, то:
(5)
№7. Знайдіть · , якщо = 5, = 4, а кут між векторами дорівнює 120°.
№8. Чи перпендикулярні вектори (2; 3; 6) і (3; 2; -1)?
№9. При якому значенні m вектори (6; 0; 12) і (-8; 13; m) перпендикулярні?
№10. Чи є серед векторів (2; 3; 1), (5; 9; 2), 
(-3, 1; 3) ортогональні вектори?
№11. Знайдіть кут між векторами (1; 1; 0) і (1; 0; 1).
№12. Знайдіть cos ABC, якщо А(1; -3; 4), В(2; -2; 6), С(3; 1; 3).
VI. Узагальнення та систематизація знань, умінь та навичок студентів.
Бесіда за матеріалами заняття.
1) Як визначається довжина вектора в координатному вигляді?
2) Чому дорівнює скалярний добуток векторів, які задано координатами?
3) Як можна обчислити скалярний добуток векторів, якщо відомі їх довжини і кут між ними?
4) Як можна визначити косинус кута між двома ненульовими векторами?
5) Сформулюйте ознаку перпендикулярності двох ненульових векторів.
6) У просторі дано вектори (1; 1; 0), (0; 1; 1). Укажіть, які з вказаних тверджень правильні, а які — неправильні:
а) довжини векторів і рівні;
б) скалярний добуток векторів і дорівнює 2;
в) кут між векторами і дорівнює 120°;
г) ( + )( – ) = 0;
д) вектори + і – перпендикулярні
