Ви вже знаєте, що кожна сторона трикутника менша від суми двох інших його сторін. Щоб довести це твердження як теорему, спочатку розглянемо іншу теорему.

Теорема 19 У кожному трикутнику проти більшої сторони лежить більший кут, а проти більшого кута – більша сторона.

Доведення. 1) Нехай у трикутнику ABC сторона АВ більша за АС. Покажемо, що кут С більший за кут В (мал. 189). Відкладемо на стороні АВ відрізок АКТ, що дорівнює АС.

Оскільки відкладений відрізок коротший від АВ, то точка

К лежить між точками А і В, а ∠ACK є частиною кута АСВ. Кути AKC і АС К рівні, тобто ∠1 = ∠2, бо ∆КАС – рівнобедрений. ∠1 більший за ∠B, бо є зовнішнім для трикутника ВKС. Тоді, весь кут С більший за ∠2, a ∠2 більший за ∠B. Цим доведено, що якщо в трикутнику АВ > АС, то ∠C > ∠B.

2) Hехай у трикутнику ABC кут С більший за кут В.

Доведемо, що тоді АВ > АС.

Сторони АВ і АС не можуть дорівнювати одна одній, бо інакше даний трикутник був би рівнобедреним і один з його кутів при основі не міг би бути більшим від іншого.

Не може сторона АВ бути і меншою за сторону АС, бо тоді ∠C був би меншим за ∠B. А оскільки сторона

АВ не дорівнює стороні АС і не менша від АС, то вона більша за АС.

НЕРІВНОСТІ ТРИКУТНИКА

Мал. 189

Теорема 20 Кожна сторона трикутника менша від суми двох інших його сторін.

Доведення. Розглянемо довільний ДАОС і покажемо, що АВ < ВС + СА (мал. 190).

Для доведення відкладемо на продовженні сторони АС відрізок СР, що дорівнює стороні ВС, і розглянемо трикутник АВР. Кути СВР і СРВ – рівні, бо СВ = СР. Кут АВР – більший за ∠P.

А оскільки проти більшого кута лежить більша сторона, то АВ < АР. Врахувавши, що АР = АС + СР = АС + СВ, маємо:

АВ < АС + СВ.

НЕРІВНОСТІ ТРИКУТНИКА

Мал. 190

Так само можна показати, що ВС < СА + АВ, АС < СВ + ВА.

З доведеної теореми випливає таке твердження.

Якщо точки А, В, С не лежать на одній прямій, то правильні нерівності: АВ < ВС + СА, ВС < СА + АВ, АС < СВ + ВА.

Кожну з цих трьох нерівностей називають нерівністю трикутники.

Для допитливих

Якщо точки А, В, С лежать на одній прямій, то одна з наведених вище нерівностей перетворюється в рівність, а дві інші залишаються правильними. Наприклад, якщо точка С лежить між точками А і В (мал. 191), то правильні такі співвідношення:

АВ – ВС + СА, ВС < СА + АВ, СА < АВ + ВС.

Враховуючи все сказане вище, можна зробити такий висновок.

Як би не були розташовані три точки А, В, С, то завжди: АВ < ВС + СА ВС ≤ СА + АВ, СА ≤ АВ + ВС.

Із трьох відстаней між будь-якими трьома точками кожна не перевищує суми двох інших.

НЕРІВНОСТІ ТРИКУТНИКА