Найбільше і найменше значення функції на проміжку

Від максимумів і мінімумів функції слід відрізняти її найбільше і найменше значення на проміжку. Функція може мати кілька максимумів (мінімумів) на деякому проміжку (мал. 214), але не більше одного найбільшого (найменшого) значення. Функція може не мати максимуму (мінімуму) на проміжку, але мати найбільше (найменше) значення.

Наприклад, функція, графік якої зображено на малюнку 214, найбільше значення має у точці х₂, а найменше — у точці х₃, а функція f(х) = х², задана на проміжку [-1; 2], має найменше значення f(0) = 0 і найбільше значення f(2) = 4 (мал. 215).

Мал. 214

Мал. 215

Найбільше і найменше значення функції тісно пов’язані з її областю значень. Якщо область значень неперервної функції — проміжок [m; М], то m — найменше значення даної функції, М — найбільше її значення.

Оскільки неперервна функція найбільше і найменше значення може мати тільки в точках екстремуму або на кінцях відрізка, то для знаходження цих значень користуються таким правилом.

Щоб знайти найбільше і найменше значення неперервної функції f(x) на проміжку [а; b], треба обчислити її значення f(a) і f(b) на кінцях даного проміжку і в критичних точках, що належать цьому проміжку, та вибрати з них найбільше і найменше.

Позначаються вони

Приклад 1. Знайдіть найбільше і найменше значення функції f(х) = х³ + Зх² - 9х - 10 на проміжку [-4; 4].

Розв’язання, f'(х) = Зх² + 6х - 9 = 3(х + 3)(х - 1). Критичні точки: х = -3, х₂ = 1. Знайдемо значення функції в критичних точках і на кінцях відрізка. f(-4) = 10, f(-3) = 17, f(1) = -15, f(4) = 66.

З цих чотирьох значень функції найменшим є —15, а найбільшим — 66.

Відповідь.

Приклад 2. Знайдіть найбільше і найменше значення функції

якщо х ∈ [0; 1].

Розв’язання. Знайдемо похідну та критичні точки функції

Якщо у' = 0, то

звідки х = 1; 1 ∈ [0; 1].

у' — не існує, якщо х₁ = 0 і х₂ = 2. Ці точки не є критичними. Чому? Знайдемо у(0) = 0 і у(1) = 1.

Маємо:

Відповідь.

По вертикалі під № 2 ви отримаєте ключ до уроку. Кросворд розв'язати у зошиті. Фото прикріпити у даному блоці