Мода і медіана. Завдання математичної статистики.

Математична статистика – розділ математики, присвячений математичним методам систематизації, обробки та дослідження статистичних даних для наукових і практичних висновків. Її широко застосовують соціально-економічні дисципліни та інші галузі, а саме: астрономія (розподіл і рух зірок у небесному просторі),фізика (термодинаміка), біологія (закони спадковості), гідрологія (прогноз погоди), індустрія (контроль якості виробів) і таке інше.

Глибоке вивчення сучасної математичної статистики неможливо без допомоги теорії ймовірностей.

Статистика виникла з практичних потреб людини, її господарської діяльності, необхідністю обліку земельних угідь, майна, кількості населення, вивчення його занять, вікового складу тощо. Математична статистика виникла у XVII ст. і створювалась паралельно з теорією ймовірностей.

У статистиці досліджують різні сукупності даних — числових значень випадкових величин із урахуванням частот, із якими вони зустрічаються в сукупності.

При цьому сукупність усіх даних називають генеральною сукупністю, а будь-яку вибрану з неї частину — вибіркою. Сукупність даних іноді буває корисно охарактеризувати (оцінити) одним числом — мірою центральної тенденції числових значень її елементів. До таких характеристик належать мода, медіана та середнє.

Дамо означення кожній з них.

Середнім значенням вибірки називається середнє арифметичне всіх її значень. Позначається $\overline{X}$

Приклад: Обчисли середнє значення вибірки: $24;−5;13;−8$

$\overline{X}=\frac{24+\left(-5\right)+13+\left(-8\right)}{4}=\frac{24}{4}=6$

Мода вибірки – те її значення, яке трапляється найчастіше. Позначається Мо.

Приклад:

Mода вибірки 7,6,2,5,6,1 дорівнює 6, a вибірка 2,3,8,2,8,5 має дві моди: Mo =2, Mo =8.

Медіана вибірки — це число (значення випадкової величини), що ділить упорядковану вибірку на дві рівні за кількістю даних частини. Позначається Ме.

Якщо у впорядкованій вибірці непарна кількість даних, то медіана дорівнює серединному з них.

Якщо у впорядкованій вибірці парна кількість даних, то медіана дорівнює середньому арифметичному двох серединних чисел.

Приклад: 1) 5,9,1,4,5,−2,0; 2) 7,4,2,3,6,1.

1) розташуємо елементи вибірки в порядку зростання: −2,0,1,4,5,5,9. Кількість даних — непарна. Ліворуч і праворуч від числа 4 знаходяться по 3 елементи, тобто 4 — серединне число вибірки, тому Me =4.

2) упорядкуємо елементи вибірки: 1,2,3,4,6,7. Кількість даних — парна. Серединні дані вибірки: 3 і 4, тому $Me=\frac{3+4}{2}=3,5.$

Приклад 1. Нехай дано вибірку $2, 3 , 4, 4, 6, 6, 6, 7, 7, 8.$ Знайдемо центральні тенденції вибірки.

Розв’язання

Мода даної вибірки $Мо = 6,$ бо число 6 зустрічається найчастіше.

Середнє значення вибірки: $х=\frac{2+3+4+4+6+6+7+7+8}{10}=\frac{53}{10}=5,3$

Медіана даної вибірки $Ме = 6,$ бо вибірка має парне число значень і її медіана дорівнює півсумі двох її середніх значень: $Ме=\frac{6+6}{2}=\frac{12}{2}=6$

Приклад 2. Знайти центральні тенденції вибірки: $12, 17, 11, 13, 14, 15, 15, 16, 13, 13.$

Розв’язання

Упорядкуємо дану вибірку: $11, 12, 13, 13, 13, 14, 15, 15, 16, 17.$

Мода даної вибірки: $Мо = 13.$

Середнє значення: $х=\frac{11+12+13+13+13+14+15+15+16+17}{10}=\frac{139}{10}=13,9$

Медіана даної вибірки: $Ме=\frac{13+14}{2}=\frac{27}{2}=13,5$

Перегляньте відео до уроку https://www.youtube.com/watch?v=FXlPBVQaGjs&authuser=0

Опрацювавши теоретичний матеріал, переходьте за покликанням і виконайте тестове завдання