Многокутники

ABCDE - многокутник;

A, B, C, D, E - вершини;

AB,BC,CD,DE,AE - сторони;

P=AB+BC+CD+DE+AE - периметр;

∠A,∠B,∠C,∠D,∠E - внутрішні кути;

АС,AD - діагоналі.

Многокутником називають замкнену ламану, сусідні ланки якої не лежать на одній прямій

Многокутник називається опуклим, якщо всі його внутрішні кути менші за розгорнутий.

В опуклому n-кутнику :

1. з кожної вершини можна провести n-3 діагоналі;

2. кількість усіх діагоналей дорівнює n(n-3)/2;

3. для будь-якої сторони a, a<P (P - периметр n-кутника);

4. Сума внутрішніх кутів n-кутника Sn=180०(n-2);

5. Сума зовнішніх кутів, взятих по одному при кожній вершині, - 360०;

6. Якщо всі сторони і кути рівні, то n-кутник правильний.

180०(n-2)/n - внутрішній кут; 360०/n-зовнішній кут.

Вписане та описане кола многокутника.

Коло називають описаним навколо многокутника, якщо воно проходить через усі його вершини.

Про такий многокутник кажуть, що він вписаний в коло.

Центр описаного кола належить серединним перпендикулярам усіх сторін многокутника.

Коло називається вписаним в многокутник, якщо воно дотикається до всіх його сторін.

В такому випадку многокутник являється описаним навколо кола.

Центр кола, вписаного в многокутник належить бісектрисам усіх його кутів.

№ 647

Дано: 1)опуклий 5-тикутник, n=5; 2) n=8; 3)n=24. 

Знайти: Суму кутів -Sn.

Розв’язання:

1)S5=180०(5-2)=540०;

2)S8=180०(8-2)=1080०;

3)S24=180०(24-2)=3960०.

№649

Чи існує опуклий многокутник, сума кутів якого дорівнює: 1)1800०; 2)720०; 3)1600०?

Розв’язання:

1. Sn=180०(n-2)=1800  2)180०(n-2)=720  3)180०(n-2)=1600

180n-360=1800        180n-360=720     180n-360=1600

180n=2160            180n=1080      180n = 1960

n=12. існує          n=6. існує        n=10,(8) Не існує

№652

Кути опуклого шестикутника відносяться як 3:3:4:4:5:5.

Знайти ці кути.

Розв’язання:

Нехай одиничний кут дорівнює x, тоді кути шестикутника дорівнюють 3x,3x,4x,4x,5x,5x. S6=180०(6-2)=720.

3x+3x+4x+4x+5x+5x=720; 24x=720; x=30. 

3·30=90०; 4·30=120०; 5·30=150०

Виконати  №648, 650, 653, 655, 657, 659.