Медіани, бісектриси і висоти трикутника

Медіана трикутника — це відрізок, що сполучає вершину трикутника із серединою протилежної сторони.

Для побудови медіани необхідно виконати такі дії:

1) Знайти середину сторони.

2) З'єднати точку, яка є серединою сторони трикутника, з протилежною вершиною трикутника. Це і буде медіана.

Зверни увагу!

У трикутнику можна побудувати три медіани, які перетинаються в одній точці і мають такі властивості:

• Медіани трикутника перетинаються в точці, яка є його центром мас.

• Медіани трикутника зображені чорним кольором.

• Медіана поділяє трикутник на два трикутники з рівними площами (рівновеликі), а три проведені медіани — на шість рівновеликих.

• В точці перетину медіани трикутника діляться у відношенні 2:1, починаючи з вершини трикутника.

• Медіана прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, дорівнює половині гіпотенузи.

• В рівнобедреному трикутнику медіана кута, протилежного до основи трикутника, є його бісектрисою та висотою.

Бісектриса трикутника — це відрізок бісектриси кута трикутника, що сполучає вершину з точкою на протилежній стороні.

Для побудови бісектриси необхідно виконати такі дії:

1) Побудувати бісектрису кута трикутника (бісектриса кута — це промінь, що виходить із вершини кута й ділить його на дві рівні частини).

2) Знайти точку перетину бісектриси кута трикутника з протилежною стороною.

3) З'єднати вершину трикутника з точкою перетину бісектриси кута трикутника з протилежною стороною — цей відрізок і буде бісектрисою трикутника.

Зверни увагу!

У трикутника є три бісектриси, які перетинаються в одній точці і мають такі властивості:

• Бісектриси внутрішніх кутів трикутника перетинаються в одній точці — інцентрі — центрі вписаного в цей трикутник кола.

• Бісектриси трикутника зображені голубим кольором.

• Бісектриса внутрішнього кута трикутника ділить протилежну сторону у відношенні, рівному відношенню двох прилеглих сторін.

• Якщо в трикутнику дві бісектриси рівні, то трикутник — рівнобедрений.

• В рівнобедреному трикутнику бісектриса кута, протилежного до основи трикутника, є медіаною та висотою.

• Відстані від сторін кута до будь-якої точки бісектриси однакові.

Висота трикутника — це перпендикуляр, опущений із вершини трикутника до прямої, що містить його протилежну сторону.

Для побудови висоти необхідно виконати такі дії:

1) провести пряму, яка містить одну зі сторін трикутника (у разі, якщо проводиться висота з вершини гострого кута в тупокутному трикутнику);

2) із вершини, що лежить навпроти проведеної прямої, опустити до неї перпендикуляр (перпендикуляр — це відрізок, проведений із точки до прямої, який утворює з нею кут величиною 90°). Це і буде висота.

Так само, як медіани і бісектриси, трикутник має три висоти, які перетинаються в одній точці.

Точку перетину висот трикутника називають ортоцентром. В гострокутному він знаходиться всередині трикутника.
Якщо трикутник має прямий кут, то сторони, що утворюють прямий кут, можна назвати висотами, оскільки вони перпендикулярні одна до іншої. Точкою перетину висот є спільна вершина перпендикулярних сторін. Отже, в прямокутному трикутнику ортоцентр збігається з вершиною прямого кута.

Якщо трикутник має тупий кут, то висоти, опущені з вершин гострих кутів, знаходитимуться за межами трикутника. Прямі, на яких розташовані висоти, перетинатимуться за трикутником. Отже, в тупокутному трикутнику ортоцентр лежить поза межами трикутника.

Зверни увагу!

Якщо з однієї й тієї самої вершини провести медіану, бісектрису й висоту, то медіана виявиться найдовшим відрізком, а висота — найкоротшим.

Зверни увагу!

Кожний трикутник має три висоти, три медіани й три бісектриси.

Довжини сторін трикутника, протилежних кутам А, В, С, позначають відповідно а, b, с. Довжини висот позначають ha, hb, hc, медіан — ma, mb, mc, бісектрис — la, lb, lc. Індекс показує, до якої сторони проведено відрізок.

Це означає:

• Проти кута А лежить сторона а.

• До сторони а проведено висоту ha, медіану ma і бісектрису la.

Вкажи, на якому рисунку проведена медіана трикутника.

Три відрізки перетинаються в одній точці. Вибери рисунок, на якому зображені бісектриси трикутника.

Маємо △ IGH.

JH — бісектриса кута IHG.

Обчисли кут IHG, якщо∠JHG=65°.

Визнач периметр трикутника BAC, якщо CF — медіана, і відомо, що:

AC=55см,BC=33см і AF=22см

Визнач периметр трикутника CBA, якщо CF — медіана, і відомо, що:

AC=25мм,BC=15мм і FA=10мм