Лінійні рівняння та їх системи як математичні моделі текстових задач. Розв’язування задач за допомогою систем лінійних рівнянь

Алгоритм розв'язання системи двох лінійних рівнянь із двома змінними методом алгебраїчного додавання

Щоб розв’язати систему лінійних рівнянь методом додавання, треба:

1) Дібравши «вигідні» множники, перетворити одне чи обидва рівняння системи так, щоб коефіцієнти при одній зі змінних стали протилежними числами;

2)Додати почленно ліві й праві частини рівнянь, отриманих на першому кроці;

3) Розв’язати рівняння з однією змінною, отримане на другому кроці;

4) Підставити знайдене на третьому кроці значення змінної в будь-яке з рівнянь вихідної системи;

5) Обчислити значення другої змінної та записати відповідь.

Приклад:

Завдання 1. Розв'язати систему рівнянь  {3x−y=9,2x+y=11.

Розв'язання.

1. Коефіцієнти при змінній y є протилежними числами тому додаємо почленно ліві й праві частини рівнянь.

+{3x−y=92x+y=11¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯(3x−y)+(2x+y)=9+113x¯¯¯¯−y+2x¯¯¯¯+y=205⋅x=20x=20:5x=4¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯

2. Підставимо знайдене значення x у друге рівняння системи і знайдемо y.

2⋅x+y=112⋅4+y=118+y=11y=11−8y=3

Відповідь: (4;3).

Алгоритм розв'язання системи двох рівнянь із двома змінними методом підстановки

Щоб розв'язати систему рівнянь способом підстановки, треба:

1. Виразити з якого-небудь її рівняння одну змінну через іншу;

2. Підставити в інше рівняння системи замість цієї змінної отриманий вираз;

3. Розв'язати утворене рівняння з однією змінною;

4. Знайти відповідне значення іншої змінної.5. Записати відповідь.

Приклад:

Розв'язати систему рівнянь:   {x−2y=3,5x+y=4.

1) З першого рівняння системи виражаємо змінну x через змінну y.

Отримуємо: x−2y=3,x=3+2y;

2)  Підставимо отриманий вираз замість змінної x у друге рівняння системи:

5⋅x+y=4,5⋅(3+2y)+y=4;

3)  Розв'яжемо утворене рівняння з однією змінною, знайдемо y:

5⋅(3+2y)+y=4,15+10y+y=4,10y+y=4−15,11y=−11,|:11y=−1 4)  Знайдемо відповідне значення змінної x, підставивши значення змінної y, у вираз знайдений на першому кроці:

x=3+2⋅y,x=3+2⋅(−1),x=3−2,x=15) Відповідь: (1;−1).

Актуалізація опорних знань.

Класна робота

№ 1

Для пошиття шести суконь потрібно стільки тканини, скільки й для пошиття дев’яти спідниць Скільки метрів тканини потрібно для пошиття однієї спідниці, якщо для пошиття однієї сукні потрібно на 2 м тканини більше, ніж для пошиття однієї спідниці?

№ 2

Відстань між пунктами А і B дорівнює 40 км. Із пункту B виїхав велосипедист, а з пункту А назустріч йому – автомобіль. Автомобіль проїхав до зустрічі відстань, у 4 рази більшу, ніж велосипедист. На якій відстані від А відбулася зустріч?

№ 3

Дві гирі й три гантелі важать а кг, а три гирі важчі, ніж шість гантелей, на b кг. Скільки важать окремо одна гиря й одна гантеля? Чи відповідають змісту задачі а = 16, b = 3? а = 10, b = 2?

Домашня робота

№ 1080, № 1082 стор. 213