Лінійні нерівності з однією змінною. Застосування нерівності до розв’язування рівнянь з параматром

Хід уроку:

Пригадайте, будь ласка, означення квадратного рівняння, що таке дискримінант квадратного рівняння, за якою формулою знаходять дискримінант квадратного рівняння, сформулюйте алгоритм розв’язування квадратного рівняння.

Рівняння виду , де x — невідома, ≠ 0, b і c — сталі числа (або функції від параметра), називають квадратним рівнянням (із параметрами). У таких рівняннях «контрольними» зазвичай є значення параметра, які перетворюють на нуль коефіцієнт при x² , оскільки в такому випадку рівняння стає лінійним. Також «контрольними» є значення параметра, які перетворюють на нуль дискримінант квадратного рівняння. Зауваження. Коли говорять, що при від’ємному значенні дискримінанта квадратне рівняння не має коренів, то мають на увазі, що рівняння не має дійсних коренів.
Розв’яжемо рівняння (Відносно змінної х)

Розв’язання. Спочатку розглянемо випадок, коли = 0. Тоді задане рівняння перетворюється на лінійне рівняння 2x + 1 = 0, корені якого знайти легко:
2 x = − 1 , x = −0,5 .
Якщо ≠ 0, то задане рівняння квадратне. Знайдемо дискримінант і проаналізуємо його значення. D = 1 - . Якщо >1, то D < 0; якщо = 1, то D = 0; якщо <1, то D > 0. Тоді
⇔

Відповідь. При >1 коренів немає; при = 0 x = −0,5 ; при = 1 x = −1; при ∈ (− ∞; 0) ∪( 0 ; 1)

№5.33 При яких значеннях параметра рівняння х² + 3х - = 0 не має коренів?

Тут коефіцієнт при х² дорівнює 1, тому тільки дискримінант дасть відповідь на питання. Знайдемо дискримінант і будемо вимагати, щоб він був від’ємним, оскільки тільки в цьому випадку дане квадратне рівняння не матиме коренів.

Відповідь: при коренів немає.

№5.50(3) Знайти всі значення параметра , при яких рівняння має два різних кореня.

Відповідно до алгоритму, маємо:

Якщо =3, то задане рівняння перетворюється на лінійне і може за певних умов мати або один корінь, або жодного.

Якщо , то задане рівняння квадратне, знайдемо дискримінант.

Відповідь: при і рівняння має два різних кореня.

Розв’яжіть за алгоритмом №5.34, 5.51 із підручника Алгебра 9 А.Г Мерзляк, В.Б Полонський, М.С. Якір