Геометричні тотожності

У системі координат побудуємо півколо з радіусом 1 та центром у початку координат.

Як уже відомо, в прямокутному трикутнику синус гострого кута визначається як відношення протилежного катета до гіпотенузи, а косинус гострого кута — як відношення прилеглого катета до гіпотенузи.

У трикутнику AOX:

sinα=AX/AO; cosα=OX/AO

Оскільки радіус півкола R=AO=1, то sinα=AX;cosα=OX.

Довжина відрізка AX дорівнює величині координати y точки A, а довжина відрізка OX — величині координати x точки A: A(cosα;sinα)

Отже, для кутів 0°≤α≤180° бачимо, що −1≤cosα≤1;0≤sinα≤1.

У прямокутному трикутнику тангенс гострого кута дорівнює відношенню протилежного катета до прилеглого катета. Отже:

tgα=AX/OX=sinα/cosα

Використовуючи одиничне півколо та розглянену інформацію, визначимо синус, косинус і тангенс для 0°;90°;180°.

sin0°=0; cos0°=1; tg0°=0 sin90°=1; cos90°=0; tg90°не існує sin180°=0; cos180°=−1; tg180°=0.

Розглянемо обидва гострих кути в трикутнику AOX. Якщо разом вони утворюють 90°, то обидва виразимо через α:

Якщо sinα=AX/AO; cosα=OX/AO, то sin(90°−α)=OX/AO;cos(90°−α)=AX/AO.

Ми бачимо, що правильними є рівності:

cos(90°−α)=sinα sin(90°−α)=cosα

Розглянемо тупий кут, який також виразимо через α:

Правильними є наступні рівності:

sin(180°−α)=sinα cos(180°−α)=−cosα

Ці формули називаються формулами зведення:

cos(90°−α)=sinα sin(90°−α)=cosα

sin(180°−α)=sinα cos(180°−α)=−cosα

Якщо в трикутнику AOX застосувати теорему Піфагора, отримаємо AX²+OX²=1. Замінивши відрізки, відповідно, на синус і косинус, запишемо головну тригонометричну тотожність:

sin²α+cos²α=1

Ця тотожність дозволяє обчислити величину синуса кута, якщо відомий косинус
(як уже зазначено, синус для кутів 0°≤α≤180° лише 0 або додатний):

sin²α+cos²α=1 sin²α=1−cos²α sinα=√(1−cos2α)

або величину косинуса кута, якщо відомий синус:

sin²α+cos²α=1 cos²α=1−sin²α cosα=±√(1−sin2α)

Для гострих кутів косинус додатний, а для тупих кутів беремо від'ємне значення.

Підручник Геометрія Мерзляк 9 клас. п. 1 вивчити. Відповісти на запитання після пункту (усно). Виконати №1.3, 1.5, 1.7, 1.9 в зошиті. Сфотографувати і прикріпити файли у завдання 2.

Перейдіть за покликанням та виконайте вправи

https://learningapps.org/view18760115

https://learningapps.org/view4459271