Геометричне місце точок

Кожна геометрична фігура має певну властивість і відповідну ознаку. Існує такий спосіб опису геометричної фігури, як спосіб геометричних місць точок цієї фігури.

Геометричним місцем точок (ГМТ) на площині  називається фігура, що складається з усіх точок площини, які задовольняють певну умову.

Щоб довести, що деяка фігура F являється геометричним місцем точок, які задовольняють умову P, треба довести дві взаємно обернені теореми:

1. Пряма теорема: Кожна точка фігури F задовольняє умову P;

2. Обернена теорема: Якщо точка задовольняє умову P, то вона належить фігурі F.

   Теорема про серединний перпендикуляр до відрізка як ГМТ, рівновіддалених від нього кінців

   Серединний перпендикуляр до відрізка є геометричним місцем точок, рівновіддалених від кінців даного відрізка

   Пряма теорема: Кожна точка серединного перпендикуляра відрізка рівновіддалена від його кінців (АС=ВС)

   Обернена теорема: Якщо точка рівновіддалена від кінців відрізка, то вона належить серединному перпендикуляру цього відрізка. (СО⊥АВ, АО=ОВ)

   

   Теорема про бісектрису кута як ГМТ, рівновіддалених від його сторін

   Бісектриса нерозгорнутого кута є геометричним місцем точок внутрішньої області кута, рівновіддалених від сторін цього кута

   Пряма теорема: Кожна точка бісектриси кута рівновіддалена від його сторін (FB=FC)

   Обернена теорема: Якщо точка, що належить внутрішній частині кута, рівновіддалена від його сторін, то вона лежить на бісектрисі цього кута. 

   

   Теорема про коло як ГМТ, рівновіддалених від заданої точки

   Коло є геометричним місцем точок, рівновіддалених від заданої точки, яка є його центром.

   Пряма теорема: Кожна точка кола рівновіддалена від його центра.

   Обернена теорема: Якщо точка знаходиться на заданій відстані від заданої точки, то вона належить колу, а задана точка є його центром.

   

   Метод геометричних місць

   Поняття ГМТ часто використовують при розв’язанні задач на побудову.

   Наприклад, необхідно побудувати точку, що задовольняє умові P1 і P2.

   Якщо геометричним місцем точок, що задовольняють умову P1, є фігура F1, а геометричним місцем точок, що задовольняють умову P2, є фігура F2, то шукана точка буде належати і фігурі F1, і фігурі F2, тобто точкою їхнього перетину.

   Міркування за такою схемою є основою методу геометричних місць.

   Розв'язування задач

   № 616

   Дано: відрізок АВ. 

   Побудувати: ГМТ  С таких,

   що ΔАВС - рівносторонній.

   

   Побудова: 

   1)Проведемо коло з центром в точці А радіуса АВ.

   2)Проведемо коло з центром в точці В радіуса АВ.

   3)Ці два кола мають дві точки перетину С і С1.

№620

Дано: ∠А, відрізок довжини d.

Побудувати: точку, рівновіддалену від

сторін ∠А, яка лежить на відстані d від

вершини А.

Шукана точка повинна мати 2 властивості: бути рівновіддалена від сторін кута А, а значить, лежати на бісектрисі цього кута і знаходитись на відстані d від точки А.

Спочатку побудуємо бісектрису кута А, потім на ній відкладемо відрізок d.

1. Проведемо коло довільного радіуса з центром в точці А. Отримаємо точки В і С.

2. Проведемо кола такого ж радіуса з центрами в точці В і С. Ці два кола перетнуться в точці D.

3. Проведемо промінь  АD. AD - бісектриса кута А, кожна точка якої рівновіддалена від сторін кута А.

4. Відкладемо на бісектрисі від точки А відрізок довжини d за допомогою циркуля. Отримаємо точку F. Точка F - шукана.

   №624

   Дано: Точки А і В.

   Знайти: ГМТ, які є центрами кіл, що 

   проходять через точки А і В.

   Побудова:

   1) Проведемо відрізок АВ. Якщо вісі кола 

   проходять через точки А і В, то центри цих

   кіл рівновіддалені від кінців відрізка АВ.

5. 

2) Тоді за теоремою про серединний перпендикуляр до відрізка, як ГМТ, рівновіддалених від його кінців, будуємо серединний перпендикуляр а до відрізку АВ.

3) Будь-яка точка О на цій прямій а буде центром кола, яке проходить через точки А і В.

О1А=О1В, О2А=О2В, О3А=О3В, О4А=О4В.

Отже, геометричним місцем точок буде серединний перпендикуляр відрізка АВ.

1. Дано відрізок EF завдовжки 4 см. Знайдіть ГМТ, які рівновіддалені від точок E і F та знаходяться на відстані 2 см від EF.

2. Прямі a і b перетинаються. Знайдіть ГМТ, які знаходяться на відстані 3 см від прямої а  та на відстані 5 см від прямої b.

3. Дано дві паралельні прямі , відстань між якими дорівнює 2 см. Знайдіть ГМТ, сума відстаней від яких до цих прямих більша за 4 см.

4. Дано точки E і F. Знайдіть ГМТ вершини D трикутників DEF таких, що медіана DM дорівнює 2,5 см.