Формули додавання для тригонометричних функцій та наслідки з них

Косинус різниці та суми

$\cos\left(\alpha-\beta\right)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$

$\cos\left(\alpha+\beta\right)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$

Наприклад:

1.Обчислити $cos15°$ і $cos105°$

1) $\cos15^0=\cos\left(60^0-45^0\right)=\cos60^0\cos^{}45^0+\sin^{}60^0\sin45^0=$

$=\frac12\cdot\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2}=\frac{\sqrt2}{4}+\frac{\sqrt6}{4}=\frac{\sqrt2+\sqrt6}{4}$;

2)$\cos105^0=\cos\left(60^0+45^0\right)=\cos60^0\cos45^0-\sin60^0\sin45^0=$

$=\frac12\cdot\frac{\sqrt2}{2}-\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2}=\frac{\sqrt2}{4}-\frac{\sqrt6}{4}=\frac{\sqrt2-\sqrt6}{4}$

2. Спростити вираз: $\cos\left(\alpha+\frac{\pi}{6}\right)-\cos\left(a-\frac{\pi}{6}\right)$

$\cos\left(\alpha+\frac{\pi}{6}\right)-\cos\left(\alpha-\frac{\pi}{6}\right)=\cos\alpha\cos\frac{\pi}{6}-\sin\alpha\sin\frac{\pi}{6}-\cos\alpha\cos\frac{\pi}{6}-\sin\alpha\sin\frac{\pi}{6}=$

$=\frac{\sqrt3}{2}\cos\alpha-\frac12\sin\alpha-\frac{\sqrt3}{2}\cos\alpha-\frac12\sin\alpha=-\frac12\sin\alpha-\frac12\sin\alpha=-\sin\alpha$

Синус суми та різниці

$\sin\left(\alpha-\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$

$\sin\left(\alpha+\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$

Наприклад:

1.Обчислити: $\sin15^0$ і $\sin105^0$

1) $\sin15^0=\sin\left(60^0-45^0\right)=\sin60^0\cos45^0-\cos60^0\sin45^0=$

$=\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2}-\frac12\cdot\frac{\sqrt2}{2}=\frac{\sqrt6}{4}-\frac{\sqrt2}{4}=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}$

2) $\sin105^0=\sin\left(60^0+45^0\right)=\sin60^0\cos45^0+\cos60^0\sin45^0=$

$=\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2}+\frac12\cdot\frac{\sqrt2}{2}=\frac{\sqrt6}{4}+\frac{\sqrt2}{4}=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$

2.Спростити вираз $\sin\left(30^0+\alpha\right)+\sin\left(30^0-\alpha\right)$

$\sin\left(30^0+\alpha\right)+\sin\left(30^0-\alpha\right)=\sin30^0\cos\alpha+\cos30^0\sin\alpha+$

$+\sin30^0\cos\alpha-\cos30^0\sin\alpha=\frac12\cos\alpha+\frac{\sqrt3}{2}\sin\alpha+\frac12\cos\alpha-\frac{\sqrt3}{2}\sin\alpha=$

$\frac12\cos\alpha+\frac12\cos\alpha=\cos\alpha$

Тангенс суми і різниці

$\tg\left(\alpha-\beta\right)=\frac{\tg\alpha-\tg\beta}{1+\tg\alpha\tg\beta}$

$\tg\left(\alpha+\beta\right)=\frac{\tg\alpha+\tg\beta}{1-\tg\alpha\tg\beta}$

Наприклад:

Обчислити $\tg15^0$

$\tg15^0=\tg\left(60^0-45^0\right)=\frac{\tg60^0-\tg45^0}{1+\tg60^0\tg^{}45^0}=\frac{\sqrt3-1}{1+\sqrt3\cdot1}=\frac{\sqrt3-1}{\sqrt3+1}=$

$=\frac{\left(\sqrt3-1\right)\left(\sqrt3-1\right)}{\left(\sqrt3+1\right)\left(\sqrt{3-1}\right)}=\frac{3-\sqrt3-\sqrt3+1}{3-1}=\frac{4-2\sqrt3}{2}=\frac{2\left(2-\sqrt3\right)}{2}=2-\sqrt3$

Котангенс суми та різниці

$\ctg\left(\alpha+\beta\right)=\frac{\ctg\alpha\ctg\beta-1}{\ctg\alpha+\ctg\beta}$

$\ctg\left(\alpha-\beta\right)=\frac{\ctg\alpha\ctg\beta+1}{\ctg\alpha-\ctg\beta}$

Наприклад:

Обчисли: $\ctg105^0$

$\ctg105^0=\ctg\left(60^0+45^0\right)=\frac{\ctg60^0\ctg45^0-1}{\ctg60^0+\ctg45^0}=\frac{\frac{\sqrt3}{3}\cdot1-1}{\frac{\sqrt3}{3}+1}=\frac{\frac{\sqrt3}{3}-1}{\frac{\sqrt3}{3}+1}=\frac{\frac{\sqrt3-3}{3}}{\frac{\sqrt3+3}{3}}=$

$=\frac{\sqrt3-3}{\sqrt3+3}=\frac{\left(\sqrt3-3\right)\left(\sqrt3-3\right)}{\left(\sqrt3+3\right)\left(\sqrt3-3\right)}=\frac{3-3\sqrt3-3\sqrt3+9}{3-9}=\frac{12-6\sqrt6}{-6}=\frac{6\left(2-\sqrt6\right)}{-6}=$$=-2+\sqrt6$

Спростити вираз:

1. $\cos\left(\frac{\pi}{3}+x\right)+\cos\left(\frac{\pi}{3}-x\right);$

2. $\sin\left(\alpha+120^0\right)-\sin\left(60^0-\alpha\right)$;

3. $\tg\left(\frac{\pi}{6}+\alpha\right)$