Декартова система координат у просторі. Відстань між двома точками Координати серединивідрізка у просторі.Розв’язування задач.

Прямокутна система координат на площині розглядалась у поперед­ніх класах. Кожній точці площини ставиться у відповідність два числа х і у, які називаються координатами точки, і навпаки: кожній парі чисел х і у можна поставити у відповідність лише одну точку площини.

Аналогічну систему координат можна ввести і для простору. Нехай х, у, z — три попарно перпендикулярні координатні прямі, які перети­наються в точці О. Ці координатні прямі називаються координатними осями: вісь х, вісь у, вісь z або вісь абсцис, вісь ординат, вісь аплікат відповідно, точку О називають почат­ком координат.

Кожна вісь точкою О розбивається на дві пів осі — додатну, позначе­ну стрілкою, і від'ємну.

Площини, які проходять через х і у, х і z, у і z, називають координат­ними площинами і позначають відповідно: ху, хz, уz. Координати точки записуватиме­мо в дужках поряд із позначенням точки: А(х; у; z), інколи познача­тимемо точку просто її координата­ми (х; у; z). Якщо задано систему координат у просторі, то кожній точці просто­ру можна поставити у відповідність три впорядковані дійсні числа х, у, z, і навпаки: кожній трійці чисел х, у, z — єдину точку простору.

Отже,  декартова система координат у просторі задається трійкою попарно перпендикулярних осей, які мають спільний початок О (початок координат) і однаковий масштаб уздовж осей.

• вісь ОХ – вісь абсцис

• вісь ОУ – вісь ординат

• вісь OZ – вісь аплікат

ЗАПАМ'ЯТАЙ! Декартові координати у просторі записують у дужках поруч із буквеним позначенням точки А(х;у;z), причому першою в дужках стоїть абсциса, другою – ордината, третьою – апліката. Для точок площини ХОY апліката z дорівнює нулю, для точок площини XOZ – ордината у дорівнює нулю, для точок площини YOZ – абсциса х дорівнює нулю.  

Приклад 1. Задано точки А(1;2;3), В(0;1;2), С(1;0;0), D(1;0;2). Які з цих точок лежать:

1. у площині XOZ;

2. на осі ОХ;

3. у площині YOZ?

Розв’язання

1. Якщо точка лежить у площині XOZ, то координата у дорівнює 0, у площині XOZ лежать точки С(1;0;0), D(1;0;2).

2. Якщо точка лежить на осі ОХ, то координата у і z дорівнюють нулю, отже, на осі ОХ лежить точка С(1;0;0).

3. У площині YOZ лежить точка В(0;1;2).

    Відповідь: 1) С, D; 2) С; 3) В.

Відстань між двома точками

    Відстань між двома точками дорівнює квадратному кореню із суми квадратів різниць однойменних координат.

де d – відстань між точкою А₁ із координатами (х₁;у₁;z₁) і точкою А₂ із координатами (х₂;у₂;z₂).

Приклад 1. Знайти відстань між точками A(-1, 3, 3) і B(6, 2, -2).

Розв'язання AB = √(x_b - x_a)² + (y_b - y_a)² + (z_b - z_a)² =
= √(6 - (-1))² + (2 - 3)² + (-2 - 3)² = √7² + 1² + 5² = √75 = 5√3

Відповідь: AB = 5√3.

Координати середини відрізка

    Координати середини відрізка дорівнюють пів сумі відповідних координат його кінців.

     Координати (х_с;у_с;z_c) точки С, що є серединою відрізка, визначаються за формулами