Декартова система координат у просторі. Відстань між двома точка

Декартова система координат у просторі.

Прямокутна система координат на площині розглядалась у поперед­ніх класах. Кожній точці площини ставиться у відповідність два числа х і у, які називаються координатами точки, і навпаки: кожній парі чисел х і у можна поставити у відповідність лише одну точку площини.

Аналогічну систему координат можна ввести і для простору.

Нехай х, у, z — три попарно перпендикулярні координатні прямі, які перети­наються в точці О.

Запишіть в зошит!!! $\rArr$Ці координатні прямі називаються координатними осями:

вісь х - (вісь абсцис),

вісь у -(вісь ординат)

вісь z- (вісь аплікат )

точку О називають почат­ком координат.

Кожна вісь точкою О розбивається на дві півосі — додатну, позначе­ну стрілкою, і від'ємну. Площини, які проходять через х і у, х і z, у і z, називають координат­ними площинами і позначають відповідно: ху, хz, уz. Координати точки записуватиме­мо в дужках поряд із позначенням точки: А(х; у; z), інколи познача­тимемо точку просто її координата­ми (х; у; z).Якщо задано систему координат у просторі, то кожній точці просто­ру можна поставити у відповідність три впорядковані дійсні числа х, у, z, і навпаки: кожній трійці чисел х, у, z — єдину точку простору.

Наприклад: точка А має координати 2;3;3,що записується так: А(2;3;3).

Будь-якій трійці чисел х, у, z відповідає лише одна точка площини А(х;у;z).

Запишіть в зошит!!! Приклад 1. Задано точки А(1;2;3), В(0;1;2), С(1;0;0), D(1;0;2). Які з цих точок лежать: 1) у площині XOZ; 2) на осі ОХ; 3) у площині YOZ?

Розв’язання

1. Якщо точка лежить у площині XOZ, то координата у дорівнює 0, у площині XOZ лежать точки С(1;0;0), D(1;0;2).

2. Якщо точка лежить на осі ОХ, то координата у і z дорівнюють нулю, отже, на осі ОХ лежить точка С(1;0;0).

3. У площині YOZ лежить точка В(0;1;2).

Відповідь: 1) С, D; 2) С; 3) В.

Запишіть в зошит!!!

Відстань між двома точками

Відстань між двома точками дорівнює квадратному кореню із суми квадратів різниць однойменних координат.

Відстань між двома точками в просторі

,

де d – відстань між точкою А₁ із координатами (х₁;у₁;z₁) і точкою А₂ із координатами (х₂;у₂;z₂).

Запишіть в зошит!!! Приклад 2. Задано точки А(1;2;3), В(2;3;1), С(3;1;2). Знайдіть периметр трикутника АВС.

Розв’язання

Оскільки

,

,

,

то .

Відповідь: .

Запишіть в зошит!!!

Координати середини відрізка

Координати середини відрізка дорівнюють півсумі відповідних координат його кінців.

Координати середини відрізка на площині

Координати (х_с;у_с;z_c) точки С, що є серединою відрізка, визначаються за формулами

,

де (х₁;у₁;z₁) і (х₂;у₂;z₂) – координати точок А₁ і А₂, що є кінцями відрізка.

Приклад 3. Знайдіть координати точки С – середини відрізка АВ, якщо А(1;2;3), В(-3;2;1).

Розв’язання

Оскільки А(1;2;3), В(-3;2;1) і АС=СВ, то

.

Отже, С(-1;2;2).

Відповідь: С(-1;2;2).