Алгебра 11. Розв'язування логарифмічних рівнянь

Логарифмічними називають рівняння, які містять змінну під знаком логарифма

Наприклад: lg 𝑥 = 1, log₃(𝑥 -1) = 2

Найпростіше логарифмічне рівняння:

𝐥𝐨𝐠_𝒂 𝒙 = 𝒃,

де 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1, 𝑥 > 0

Наприклад

За означенням логарифму

основане на застосуванні означення логарифму та розвязуванні рівносильного рівняння

𝒍𝒐𝒈_𝒂 𝒙 = 𝒃

𝒙 =𝒂 ^𝒃

$\log_2x=5$ ОДЗ: 𝑥 > 0

𝑥 = 2⁵

𝑥 = 32

Відповідь: 32

𝒍𝒐𝒈_𝒂 𝒇( 𝒙) =b

𝒇( 𝒙) =𝒂^b

$\log_{0,2}\left(x+25\right)=-3$ ОДЗ: 𝑥 +25> 0, 𝑥 > −25

$x+25=0,2^{-3}$

$x+25=\left(\frac15\right)^{-3}$

$x+25=5^3$

$x=125-25$

$x=100$

Відповідь: 100

Потенціювання

Під потенціюванням розуміється перехід від рівності, що містить логарифми, до рівності, що не містить їх

𝒍𝒐𝒈_𝒂 𝒇 (𝒙) = 𝒍𝒐𝒈_𝒂 𝐠 (𝒙)

𝒇 (𝒙) = 𝐠 (𝒙); 𝒇 (𝒙)> 0; 𝐠 (𝒙)> 0

$log_2\left(𝑥^2−𝑥−2\right)=log_2\left(𝑥+1\right)$ 𝑥 + 1 > 0; 𝑥 > −1;

$𝑥^2−𝑥−2=𝑥+1$

$𝑥^2−2𝑥−3=0$

$x_1=-1,x_2=3$, враховуємо ОДЗ

Відповідь: 3

Використання властивостей логарифмів

$log_2𝑥^{}=5log_22-3log_22$

$log_2𝑥^{}=log_22^5-log_22^3$

$log_2𝑥^{}=log_232-log_28$

$log_2𝑥^{}=log_2\left(32\colon8\right)$

$log_2𝑥^{}=log_24$

$x=4$

Відповідь: 4

Рівняння, які зводять до квадратних

Уведемо нову змінну log₂х = 𝒕, х > 0 й одержимо квадратне рівняння,

або зможемо звести задане рівняння до квадратного

$log^2_2𝑥^{}+log_2x=6$

$Заміна:log_2𝑥^{}=t$

$t^2+t-6=0$

$t_1=-3,t_2=2$

Обернена заміна:

$log_2𝑥^{}=-3$

$x=2^{-3}$

$x=\frac18$

$x=2^2$

$x=4$ Обидва корені задовільняють умову х > 0

Відповідь: 1/8;4

Виконай тренувальну вправу. Результатом обовязково поділися!

Знайди корінь рівняння

log₃ x = 4

Розв'яжи рівняння

log₃ (7x-9) = log₃ x

Знайди добуток коренів рівняння

$\log_{\pi}\left(x^2+0,1\right)=0$

Знайди суму коренів рівняння

$\log_{^{}5}^2x-\log_5x=2$