8 клас. Геометрія. Урок 12. Ромб. Експрес-контроль № 6

Ромб

Ситуація. Учні 8-А класу розробляли емблему своєї спортивної команди для участі в шкільному етапі всеукраїнського змагання «Пліч-о-пліч. Всеукраїнські шкільні ліги». Футбольні фани Іван і Олег запропонували взяти форму емблеми легендарного футбольного клубу «Динамо» (Київ), бо в ній використано «гармонійний» паралелограм, у якого всі сторони рівні.

Чи можуть усі сторони паралелограма бути рівними?

На малюнку в паралелограмі ABCD AB = BC = CD = AD.

Це ще один вид паралелограма — ромб.

Запам'ятайте!

Паралелограм, у якого всі сторони рівні, називається ромбом.

Чи можна стверджувати, що паралелограмом є ромб, якщо в нього дві сусідні сторони рівні?

Справді, рівність усіх сторін такого паралелограма випливає з властивості: протилежні сторони паралелограма рівні.

Властивості ромба

Чи має ромб однакові властивості з паралелограмом?

Оскільки ромб є окремим видом паралелограма, то він має всі властивості паралелограма:

1. протилежні сторони рівні;

2. протилежні кути рівні;

3. діагоналі точкою їх перетину діляться навпіл.

Крім того, ромб має ще особливі властивості.

Запам'ятайте!

Теорема (властивості діагоналей ромба)

1. Діагоналі ромба взаємно перпендикулярні.

2. Діагоналі ромба ділять його кути навпіл.

   

Дано: ABCD — ромб, О — точка перетину діагоналей.

Довести: AC ⊥ BD;

∠ABD = ∠CBD = ∠ADB = ∠CDB;

∠BAC = ∠DAC = ∠BCA = ∠DCA.

Доведення

1. За означенням ромба, AB = BC, тому трикутник ABC — рівнобедрений.

2. Оскільки ромб ABCD — паралелограм, то AO = OC.

3. Звідси BO — медіана рівнобедреного трикутника ABC, а отже — висота й бісектриса цього трикутника.

4. Тому AC ⊥ BD і ∠ABD = ∠CBD.

5. Так само доводимо, що діагональ BD ділить навпіл кут D, а діагональ AC — кути A і C ромба ABCD.

Основні властивості ромба

Ознака ромба

Теорема (ознака ромба).

Паралелограм, діагоналі якого взаємно перпендикулярні, є ромбом.

Дано: ABCD — паралелограм, AC ⊥ BD

Довести: ABCD — ромб

Розв’язання

1. Розглянемо ∆AOB і ∆AOD. У них AO — спільна сторона, OB = OD за властивістю діагоналей паралелограма,

2. ∠AOB = ∠AOD = 90° за умовою.

3. Отже, ∆AOB = ∆AOD за двома сторонами й кутом між ними.

4. Із рівності трикутників випливає: AB = AD.

5. Тоді AB = CD і AD = BC за властивістю протилежних сторін паралелограма.

6. Отже, всі сторони паралелограма рівні, тому, за означенням, він є ромбом.

Щоб установити, що даний паралелограм — ромб, доведіть, що в ньому:

• або всі сторони рівні (означення ромба),

• або діагоналі взаємно перпендикулярні (ознака ромба).

№277-281 (Усно)

Інтерактивна вправа

№287

Чи правильно вказано довжини сторін і градусні міри кутів ромба на малюнку? Відповідь поясніть.

№289

ABCD — ромб. За даними на малюнку знайдіть кути 1, 2 і 3.

№290

Знайдіть сторону ромба, якщо його периметр дорівнює:

1. 2,4 дм;

2. 280 мм.

№292

Доведіть, що діагоналі ромба ділять його на чотири рівні прямокутні трикутники.

№295

Знайдіть кути, утворені діагоналями ромба з його сторонами, якщо кут ромба дорівнює: 1) 36°; 2) 54°.

№297

Знайдіть кути ромба, якщо одна з його діагоналей дорівнює стороні.

№299

За даними на малюнках знайдіть кути ромба.

№301

Інтерактивна вправа

Домашнє завдання:

Вивчити конспект §5. Виконати № 288, 291, 293, 296.