7 клас. Геометрія. Урок 59. Задачі на побудову.

Задачі на побудову

Ситуація. На уроці учні 7-Б класу будували бісектрису кута і використали для цього транспортир. Юрій Петрович сказав, що таку побудову можна виконати за допомогою лише циркуля і лінійки. І таких задач безліч. Вони утворюють окремий розділ геометрії, який так і називається – задачі на побудову.

У задачах на побудову потрібно побудувати геометричну фігуру циркулем і лінійкою.

Чи будь-які побудови можна виконувати циркулем й лінійкою?

Запам'ятайте!

За допомогою лінійки можна провести:

• довільну пряму;

• пряму, що проходить через дану точку;

• пряму, що проходить через дві дані точки.

За допомогою циркуля можна:

• провести коло з даного центра даним радіусом;

• відкласти даний відрізок на прямій.

У задачах на побудову інших операцій виконувати циркулем і лінійкою не можна.

Етапи розв’язування задач на побудову

1. Аналіз – це міркування, під час якого знаходимо план побудови. Припускаємо, що шукану фігуру побудовано. Зображаємо її на малюнку, який можна виконати «від руки». Це – малюнок-ескіз. Аналізуємо властивості шуканої фігури і зв’язок її з даними задачі. Встановлюємо послідовність побудов, яка приведе до розв’язку задачі.

2. Побудова. Стисло записуємо план побудови та будуємо шукану фігуру.

3. Доведення. Обґрунтовуємо, що побудована фігура відповідає вимогам задачі. Розглянемо найпростіші задачі на побудову.

Задача. Побудуйте трикутник за даними сторонами a, b, c.

Дано:

П о б у д у в а т и: ΔABC, у якого АВ = с, АС = b, BС = а.

Аналіз. Припустивши, що ΔABC побудовано, зобразимо його на малюнку-ескізі.

Бачимо, що відклавши відрізок BС = а, побудуємо вершини B і С = а ΔABC.

Вершина А – шукана. Позначимо її кружечком.

Вершина А лежить на відстані b від точки С, тобто на колі з центром у точці С і радіусом b.

Так само встановлюємо, що вершина А лежить на колі з центром В і радіусом с.

Отже, вершина А є точкою перетину цих кіл.

Побудова.

1. За допомогою лінійки проводимо довільну пряму і позначаємо на ній довільну точку В.

2. На промені з початком В циркулем відкладаємо відрізок ВС = а.

3. Розхилом циркуля, що дорівнює , описуємо коло з центром у точці С (на малюнку проводимо лише дугу кола);

4. Розхилом циркуля, що дорівнює с, описуємо коло з центром у точці В.

5. Точку А перетину цих кіл сполучаємо відрізками з точками В і С.

Доведення.

У побудованого ΔABC: ВС = а, АС = b, АВ = с.

Отже, ΔABC – шуканий.

Щоб побудувати трикутник, достатньо побудувати його вершини. Дві вершини можна вважати відомими, їх знайдете, відклавши даний відрізок. Третя вершина – шукана. Розв’язання задачі зводиться до її побудови.

№976

№977

№979

№980

№994

Домашнє завдання:

Опрацювати § 20.1-20.2, виконати № 978, 981, 995

Варіант 1

Варіант 2