11 клас. Геометрія. Урок 8. Паралелепіпед. Розв’язування задач і вправ

Паралелепіпеди та його види

Паралелепіпед – це призма, основами якої є паралелограми.

• Будь-які дві протилежні грані паралелепіпеда лежать у паралельних площинах.

Паралелепіпед називається прямим, якщо його бічні ребра перпендикулярні до площини основи.

• Основи прямого паралелепіпеда – паралелограми.

• У прямого паралелепіпеда всі бічні грані - прямокутники.

Прямокутний паралелепіпед – це прямий паралелепіпед, основами якого є прямокутники.

• Усі грані прямокутного паралелепіпеда є прямокутниками

Довжини ребер $BA,BC,BB_1$ - виміри прямокутного паралелепіпеда

Виміри прямокутного паралелепіпеда – це довжини трьох ребер прямокутного паралелепіпеда, що виходять з однієї вершини.

Квадрат будь-якої діагоналі прямокутного паралелепіпеда дорівнює сумі квадратів його трьох вимірів.

$AC_1^2=BA^2+BC^2+B_1B^2$

Площі поверхні паралелепіпеда

Прямий паралелепіпед

$S_{п}$ - площа паралелепіпеда, $S_{б}$ - площа бічної поверхні, $S_{осн}$ - площа основи паралелепіпеда

Площа основи прямого паралелепіпеда:

• основа - паралелограм $S_{осн}=ah_{a}=ab\sin\alpha$, де $\alpha$ - кут між сторонами $a$ i $b$

• основа - ромб $S_{осн}=\frac12d_1d_2$, де $d_1$ i $d_{\placeholder{}}$ - діагоналі ромба; $S_{осн}=a^2\sin\alpha$, де $\alpha$ - кут між сторонами

Площа бічної поверхні прямого паралелепіпеда дорівнює добутку периметра його основи та висоти.

$Р_{осн}$ - периметр основи, $𝒃$ - висота, $b=H$

Прямокутний паралелепіпед

$S_{осн}=ab$, де $a$ i $b$ - сторони основи (прямокутника)

Куб

$S_{п}=6a^2$, де $a$ - ребро куба

$S_{осн}=a^2$

№17.9

Дано прямокутний паралелепіпед ABCDA₁B₁C₁D₁, AB = 5 см, AD = 7 см, AA₁ = 12 см. Знайдіть кут:

1. між прямою DC₁ і площиною BCC₁;

2. між прямою B₁D і площиною ABB₁.

№17.12

Основа прямого паралелепіпеда — ромб з гострим кутом $a$ і меншою діагоналлю $d$. Більша діагональ паралелепіпеда утворює з площиною основи кут $\beta$. Знайдіть площу бічної поверхні паралелепіпеда.

№17.14

Сторони основи прямого паралелепіпеда дорівнюють $2\sqrt2$ см і $4$ см, а один із кутів основи дорівнює $45°$. Більша діагональ паралелепіпеда дорівнює $7$ см. Знайдіть площу бічної поверхні паралелепіпеда.

Домашнє завдання:

Повторити п. 17, виконати № 17.10; 17.13; 17.15.