11 клас. Геометрія. Урок 24. Куля та сфера

Куля та сфера

Куля - геометричне тіло, утворене обертанням півкруга навколо прямої, яка містить його діаметр.

Сфера – поверхня кулі.

Центр сфери та кулі – середина відрізка АВ

Радіус сфери (кулі) - відрізок, що сполучає точку сфери та центр сфери (кулі).

Усі точки сфери рівновіддалені від її центра.

Діаметр сфери (кулі) – відрізок, що сполучає дві точки сфери та проходить через її центр

Діаметр сфери (кулі) дорівнює двом радіусам сфери (кулі).

Взаємне розміщення сфери (кулі) і площини

Нехай радіус даної сфери дорівнює $r$, а відстань від центра O сфери до даної площини $\alpha$ дорівнює $d$.

I в и п а д о к. Нехай d > r. У цьому випадку сфера та площина не мають спільних точок.

II в и п а д о к. Нехай d < r. У цьому випадку перерізом сфери площиною є коло.

Висновок: якщо відстань від центра кулі до площини менша від радіуса кулі, то перерізом кулі площиною є круг.

Якщо площина проходить через центр кулі, то круг, утворений у перерізі, називають великим кругом кулі.

III в и п а д о к. Нехай d = r. У цьому випадку сфера та площина мають тільки одну спільну точку.

Площину, яка має зі сферою тільки одну спільну точку, називають дотичною площиною до сфери.

Цю спільну точку називають точкою дотику.

Т е о р е м а 21.1. Дотична площина до сфери перпендикулярна до радіуса, проведеного в точку дотику.

№21.2

Радіус кулі дорівнює 5 см. Чи належить кулі точка A, якщо вона віддалена від центра кулі:

1. на 2 см;

2. на 2,3 см?

№21.3

Точки C і D лежать на сфері із центром O, діаметр якої дорівнює 8 см. Знайдіть відрізок CD, якщо трикутник COD є прямокутним.

№21.5

Інтерактивна вправа

№21.6

Діаметр сфери дорівнює 20 см, а відстань від її центра до площини $\alpha$ дорівнює 12 см. Чи мають дана сфера та площина $\alpha$ спільні точки?

№21.7 (Усно)

Скільки площин, що дотикаються до сфери, можна провести через точку:

1. яка належить цій сфері;

2. яка розміщена поза сферою?

№21.8

1. Яка географічна паралель є найбільшим колом земної кулі?

2. Знайдіть довжину полярного круга Землі, прийнявши радіус Землі рівним 6400 км. Відповідь округліть до тисяч кілометрів.

3. Обчисліть шлях, який проходить за добу внаслідок обертання Землі навколо її осі населений пункт, у якому ви живете.

№21.10

Доведіть, що коли площина $\alpha$ перетинає сферу із центром $O$ по колу із центром $O_1$, то $OO_{\placeholder{}}\bot\alpha.$

№21.11

Сфера перетинається площиною, відстань від якої до центра сфери дорівнює $6$ см. Довжина лінії перетину сфери з площиною дорівнює $16\pi$ см. Знайдіть радіус сфери.

Домашнє завдання:

Вивчити конспект §21, виконати № 21.4; 21.9; 21.12