11 клас. Геометрія. Урок 19. Циліндр та його елементи. Розв’язування задач і вправ. Самостійна робота

Циліндр та його елементи

Циліндр – геометричне тіло, утворене обертанням прямокутника навколо його сторони.

Основи циліндра – круги із центрами О і О₁, які утворюються внаслідок обертання сторін О₁А₁ і ОА

Бічна поверхня циліндра утворюється внаслідок обертання сторони прямокутника

Твірні циліндра – відрізки, що утворюють бічну поверхню циліндра.

Висота циліндра – це перпендикуляр, що проведений з однієї точки основи на іншу (або просто – це відстань між основами)

Вісь циліндра – це пряма, що проходить через центри основ циліндра

Якщо перетнути циліндр площиною, що проходить через його вісь – в перерізі отримаємо прямокутник.

Якщо перетнути циліндр площиною, що є перпендикулярною осі циліндра – в перерізі отримаємо круг.

Площа бічної поверхні – це площа розгортки бічної поверхні циліндра: $Sбіч​=2πRH$,

де R - радіус основи циліндра, Н - висота циліндра

Площа повної поверхні – це площі двох основ і бічної поверхні циліндра.

$Sп​=Sбіч​+2Sосн​$

№19.17

Паралельно осі циліндра, радіус основи якого дорівнює 10 см, а висота — 12 см, проведено переріз, що є квадратом. Знайдіть відстань від осі циліндра до площини перерізу.

Самостійна робота «Циліндр»

Варіант 1

1. Обчисліть повну поверхню циліндра, радіус основи якого дорівнює 7 см, а твірна – 5 см. (1 бал)

2. Обчисліть площу бічної поверхні циліндра, осьовим перерізом якого є квадрат зі стороною 8 см. (1 бал)

3. Площа бічної поверхні циліндра дорівнює 12 см². Чому буде дорівнювати його площа бічної поверхні, якщо радіус основи збільшити у 2 рази? (1 бал)

4. Хорду нижньої основи циліндра видно із центра цієї основи під кутом $\alpha$. Відрізок, що сполучає центр верхньої основи із серединою даної хорди, нахилений до площини основи під кутом $\beta$. Знайдіть площу бічної поверхні циліндра, якщо радіус основи дорівнює R. (2 бали)

5. Відрізок, що сполучає центр верхньої основи циліндра з точкою кола нижньої основи, дорівнює 6 см. Знайдіть площу бічної поверхні циліндра, якщо його висота дорівнює діаметру основи. (2 бали)

6. У нижній основі циліндра проведено хорду, яку видно з центра нижньої основи під кутом 90°, а з центра верхньої основи – під кутом 60°. Знайдіть площу бічної поверхні циліндра, якщо радіус його основи дорівнює 4 см. (2 бали)

7. Діагональ прямокутника дорівнює $a$ і утворює з меншою стороною кут $b$. Знайдіть площу бічної поверхні циліндра, утвореного обертанням даного прямокутника навколо його меншої сторони. (3 бали)

Самостійна робота «Циліндр»

Варіант 2

1. Обчисліть повну поверхню циліндра, радіус основи якого дорівнює 7 см, а твірна – 5 см. (1 бал)

2. Обчисліть площу бічної поверхні циліндра, осьовим перерізом якого є квадрат зі стороною 8 см. (1 бал)

3. Площа бічної поверхні циліндра дорівнює 12 см². Чому буде дорівнювати його площа бічної поверхні, якщо радіус основи збільшити у 2 рази? (1 бал)

4. Хорду нижньої основи циліндра видно із центра цієї основи під кутом a. Відрізок, що сполучає центр верхньої основи із серединою даної хорди, нахилений до площини основи під кутом b. Знайдіть площу бічної поверхні циліндра, якщо радіус основи дорівнює R. (2 бали)

5. Відрізок, що сполучає центр верхньої основи циліндра з точкою кола нижньої основи, дорівнює 6 см. Знайдіть площу бічної поверхні циліндра, якщо його висота дорівнює діаметру основи. (2 бали)

6. У нижній основі циліндра проведено хорду, яку видно з центра нижньої основи під кутом 90°, а з центра верхньої основи – під кутом 60°. Знайдіть площу бічної поверхні циліндра, якщо радіус його основи дорівнює 4 см. (2 бали)

7. Діагональ прямокутника дорівнює а і утворює з меншою стороною кут b. Знайдіть площу бічної поверхні циліндра, утвореного обертанням даного прямокутника навколо його меншої сторони. (3 бали)

Самостійна робота «Циліндр»

Варіант 3

1. Обчисліть площу бічної поверхні циліндра, висота якого дорівнює 14 см, а радіус основи – 4 см. (1 бал)

2. Чому дорівнює повна поверхня циліндра, діаметр основи якого дорівнює 6 см, а твірна – 7 см? (1 бал)

3. Площа бічної поверхні циліндра дорівнює 12 см². Чому буде дорівнювати його площа бічної поверхні, якщо радіус основи збільшити у 2 рази? (1 бал)

4. У нижній основі циліндра проведено хорду, довжина якої $b$. Цю хорду видно із центра нижньої основи під кутом $\beta$, а відрізок, який сполучає центр верхньої основи із серединою проведеної хорди, утворює з площиною основи кут $\alpha$. Знайдіть площу бічної поверхні циліндра. (2 бали)

5. У нижній основі циліндра проведено хорду, яку видно із цього центра цієї основи під кутом $\alpha$. Відрізок, що сполучає центр верхньої основи з одним із кінців проведеної хорди, утворює з площиною основи кут $\beta$. Знайдіть площу бічної поверхні циліндра, якщо відстань від центра нижньої основи до проведеної хорди дорівнює $a$. (2 бали)

6. Паралельно осі циліндра проведено переріз, який є квадратом зі стороною 6 см і відтинає від кола основи дугу, градусна міра якої дорівнює 90°. Знайдіть площу бічної поверхні циліндра. (2 бали)

7. Паралельно осі циліндра, радіус основи якого дорівнює см, проведено площину, що перетинає основу циліндра по хорді, яка стягує дугу, градусна міра якої дорівнює 90°. Знайдіть площу перерізу, якщо кут між діагоналлю перерізу і вказаною хордою дорівнює 60°.(3 бали)

Самостійна робота «Циліндр»

Варіант 4

1. Чому дорівнює площа бічної поверхні циліндра, діаметр основи якого дорівнює 4 см, а твірна – 9 см? (1 бал)

2. Висота циліндра дорівнює 6 см, а його площа бічної поверхні – 18 см². Чому дорівнює площа основи циліндра? (1 бал)

3. Обчисліть площу бічної поверхні циліндра, осьовим перерізом якого є квадрат зі стороною 8 см. (1 бал)

4. У нижній основі циліндра проведено хорду, яку видно з центра цієї основи під кутом $\beta$. Відрізок, що сполучає центр верхньої основи із серединою цієї хорди, дорівнює $l$і утворює з площиною основи кут $\alpha$. Знайдіть площу бічної поверхні циліндра. (2 бали)

5. Паралельно осі циліндра, радіус основи якого дорівнює 8 см, проведено площину, що перетинає основу циліндра по хорді, яка стягує дугу, градусна міра якої 120°. Знайдіть площу перерізу, якщо його діагональ дорівнює 16 см. (2 бали)

6. Діагональ осьового перерізу циліндра дорівнює $d$ і нахилена до площини основи під кутом $\alpha$. Знайдіть площу бічної поверхні циліндра. (2 бали)

7. Відрізок, що сполучає центр верхньої основи циліндра з точкою кола нижньої основи, дорівнює 6 см. Знайдіть площу бічної поверхні циліндра, якщо його висота дорівнює діаметру основи. (3 бали)

Самостійна робота «Циліндр»

Варіант 5

1. Чому дорівнює висота циліндра, площа бічної поверхні якої становить 24p см², а радіус основи дорівнює 2 см? (1 бал)

2. Чому дорівнює площа повної поверхні циліндра, діаметр основи якого дорівнює 6 см, а твірна – 7 см? (1 бал)

3. Обчисліть площу бічної поверхні циліндра, осьовим перерізом якого є квадрат зі стороною 8 см. (1 бал)

4. У нижній основі циліндра проведено хорду, яку видно з центра цієї основи під кутом 120°, а з центра верхньої основи – під кутом 60°. Знайдіть площу бічної поверхні циліндра, якщо його довжина хорди становить 6 см. (2 бали)

5. Паралельно осі циліндра проведено переріз, який є квадратом і відтинає від кола основи дугу, градусна міра якої 90°. Знайдіть площу бічної поверхні циліндра, якщо радіус його основи дорівнює $2\sqrt2$ см. (2 бали)

6. Діагональ осьового перерізу циліндра дорівнює $d$ і утворює з твірною циліндра кут $\alpha$. Знайдіть площу бічної поверхні циліндра. (2 бали)

7. Хорду нижньої основи циліндра видно із центра цієї основи під кутом $\alpha$. Відрізок, що сполучає центр верхньої основи із серединою даної хорди, нахилений до площини основи під кутом $\beta$. Знайдіть площу бічної поверхні циліндра, якщо радіус основи дорівнює R. (3 бали)

Самостійна робота «Циліндр»

Варіант 6

1. Висота циліндра дорівнює 6 см, а його площа бічної поверхні – 18 см². Чому дорівнює площа основи циліндра? (1 бал)

2. Чому дорівнює площа бічної поверхні циліндра, радіус основи якого R, а висота дорівнює радіусу основи? (1 бал)

3. Обчисліть площу бічної поверхні циліндра, висота якого дорівнює 14 см, а радіус основи – 4 см. (1 бал)

4. У нижній основі циліндра проведено хорду завдовжки 8 см, яка знаходиться на відстані 3 см від центра цієї основи. Знайдіть площу осьового перерізу, якщо його висота дорівнює 6 см. (2 бали)

5. Паралельно осі циліндра, радіус основи якого дорівнює $6\sqrt2$см, проведено площину, що перетинає основу циліндра по хорді, яка стягує дугу, градусна міра якої дорівнює 90°. Знайдіть площу перерізу, якщо кут між діагоналлю перерізу і вказаною хордою дорівнює 60°.(2 бали)

6. Діагональ осьового перерізу циліндра дорівнює 12 см. Знайдіть площу бічної поверхні циліндра, якщо його висота дорівнює діаметру основи. (2 бали)

7. У нижній основі циліндра проведено хорду, яку видно з центра цієї основи під кутом $b$. Відрізок, що сполучає центр верхньої основи із серединою цієї хорди, дорівнює $l$і утворює з площиною основи кут $\alpha$. Знайдіть площу бічної поверхні циліндра. (3 бали)

Домашнє завдання:

Повторити конспект п. 19. Виконати № 19.18; 19.19