11 клас. Геометрія. Урок 11. Піраміда. Розв’язування задач і вправ

Площа поверхні піраміди

Площа поверхні піраміди - це сума площ усіх її граней.

$S_{п}=S_{б}+S_{осн}$,

де $$$ S_{п} $$$ - площа поверхні піраміди, $S_{б}$ - площа бічної поверхні піраміди, $S_{осн}$ - площа основи піраміди

Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює половині добутку периметра її основи та апофеми.

$S_{б}=\frac12P_{осн}\cdot d,$

де $P_{осн}$ - периметр основи піраміди, $d$ - довжина апофеми правильної піраміди

Твердження

Якщо бічні ребра піраміди рівні або бічні ребра утворюють рівні кути з площиною основи, то проєкцією вершини піраміди на площину основи є центр описаного кола многокутника, який є основою піраміди.

Якщо всі двогранні кути опуклої піраміди при ребрах основи рівні, то проєкцією вершини піраміди на площину основи є центр вписаного кола многокутника, який є основою піраміди.

Якщо кожний із двогранних кутів опуклої піраміди при ребрах основи дорівнює $\alpha$, то площу бічної поверхні піраміди $S_{б}$ можна обчислити за формулою

$S_{б}=\frac{S_{осн}}{\cos\alpha},$

де $S_{осн}$ - площа основи піраміди.

Інтерактивна вправа

№18.9

Сторона основи правильної семикутної піраміди дорівнює 10 см, а її апофема — 20 см. Знайдіть площу бічної поверхні піраміди.

№18.10

Плоский кут при вершині правильної восьмикутної піраміди дорівнює 30°, а бічне ребро — 2 см. Знайдіть площу бічної поверхні піраміди.

№18.12

Кожне ребро правильної чотирикутної піраміди дорівнює 10 см. Знайдіть площу повної поверхні піраміди.

№18.14

Основою піраміди MABCD є паралелограм ABCD, діагональ BD якого дорівнює 4 см. Висота піраміди проходить через точку перетину діагоналей основи, а бічне ребро MA, що дорівнює 8 см, утворює з площиною основи кут 45°. Знайдіть ребро MD.

Домашнє завдання:

Повторити п. 18, виконати № 18.11; 18.13; 18.15