11 клас. Алгебра. Урок 5. Показникові рівняння

ПРИГАДАЄМО

Властивості степенів з дійсним показником

Для $a>0,$ $b>0$ та будь-яких дійсних $x$ і $y$ справедливі такі рівності:

1. $a^{x}\cdot a^{y}=a^{x+y}$

2. $a^{x}:a^{y}=a^{x-y}$

3. $\left(a^{x}\right)^{y}=a^{xy}$

4. $\left(ab\right)^{x}=a^{x}b^{x}$

5. $\left(\frac{a}{b}\right)^{x}=\frac{a^{x}}{b^{x}}$

Графіки показникової функції

Найпростіші показникові рівняння

$a^{x}=b$ $\left(a>0,a\neq1\right)$

Методи розв'язування показникових рівнянь

Метод зведення обох частин рівняння до степенів з однаковими основами

Метод зведення обох частин рівняння стосується рівнянь виду $a^{f\left(x\right)}=a^{g\left(x\right)}$, та рівнянь, що можна звести до такого виду.

Приклад 1. $4^{x}=16$

Як для нашого прикладу можемо «подати» число 16?

$4^{x}=4^2$

$x=2$

Приклад 2. $7^{x}=9^{x}$

Чи можемо обидві частини рівняння поділити на $9^{x}$?

$\frac{7^{x}}{9^{x}}=\frac{9^{x}}{9^{x}},$ тоді $\frac{7^{x}}{9^{x}}=1$

Як для цього прикладу можемо подати одиницю?

$\left(\frac79\right)^{x}=\left(\frac79\right)^0;$

$x=0$

Приклад 3. $7^{x}=-1$

Як можемо розв’язати це рівняння?

$a>0,a^{x}>0;$ $-1<0$ - рівняння не має коренів.

Приклад 4. $12\cdot5^{x-1}+5^{x}-5^{x+1}=10$

Що робити, коли перед нами не найпростіше показникове рівняння?

Винесемо спільний множник за дужки та зведемо це рівняння до найпростішого

$12\cdot5^{x}\cdot5^{-1}+5^{x}-5^{x}\cdot5=10;$

$5^{x}\left(12\cdot\frac15+1-5\right)=10;$

$5^{x}\cdot\frac25=10;$

$5^{x}=10:\frac25;$

$5^{x}=25;$

$5^{x}=5^2$

$x=2$

Метод уведення нової змінної

Приклад 5. $25^{x}+4\cdot5^{x}-5=0$

Як можемо виразити $25^{x}$?

$25^{x}=(5^2)^{x}=5^{2x}=(5^{x})^2,$ тоді $\left(5^{x}\right)^2+4\cdot5^{x}-5=0$

Уведемо нову змінну та виконаємо заміну $5^{x}=t,$ отримаємо рівняння $t^2+4t-5=0$

За теоремою Вієта $t_1+t_2=-4$ i $t_1\cdot t_2=-5$, тоді $t_1=1,t_2=-5$

Чому $t=-5$ не задовольняє умову?

$5^x>0$ при $x∈R,$ отже, $5^x=-5$ не має коренів.

Виконаємо підстановку та розв’яжемо рівняння вже відомим нам способом

$5^{x}=1;$

$5^{x}=5^0;$

$x=0.$

№2.1

№2.3

Розв'яжіть рівняння:

1. $3^{x+2}+3^{x}=30;$

2. $4^{x+1}+4^{x-3}=260;$

3. $2^{x+4}-2^{x}=120;$

4. $7^{x+1}+4\cdot7^{x}=77;$

5. $5^{x}+7\cdot5^{x-2}=160;$

6. $6^{x+1}-4\cdot6^{x-1}=192.$

№2.5

Розв'яжіть рівняння:

1. $2^{2x}-6\cdot2^{x}+8=0;$

2. $9^{x}-6\cdot3^{x}-27=0;$

3. $25^{x}-5^{x}-20^{}=0;$

4. $100\cdot0,3^{2x}+91\cdot0,3^{x}-9=0.$