11 клас. Алгебра. Урок 18. Логарифмічні рівняння. Розв’язування вправ

Логарифмічні рівняння

Рівняння виду$\log_{a}x=b$, де $a > 0$, $a\neq1$, називають найпростішим логарифмічним рівнянням.

Приклад 1. Розв’яжіть рівняння $\log_4\left(x-3\right)+\log_4x=1$

Теорема 1. (логарифм добутку) Логарифм ДОБУТКУ дорівнює СУМІ логарифмів.

Якщо x > 0, y > 0, a > 0 і a ≠ 1, то виконується рівність $\log_{a}xy=\log_{a}x+\log_{a}y$

$\log_4\left(\left(x-3\right)\cdot x\right)=1;$

$\log_4\left(x^2-3x\right)=1.$

За означенням логарифма можна записати: $x^2-3x=4;$ $x^2-3x-4=0.$

За теоремою Вієта $x_1+x_2=3;$ $x_1x_2=-4$

Отже, $x_1=4$ і $x_2=-1$

ОДЗ $x-3>0$ і $x>0,$ тоді $x\in\left(3;+\infty\right)$

Тоді -1 не є коренем рівняння

Відповідь: 4

Приклад 2. Розв’яжіть рівняння $\log_2^2x+3\log_2x-4=0$

Нехай $\log_2x=t,$ тоді $t^2+3t-4=0$

За теоремою Вієта $t_1+t_2=-3;$ $t_1t_2=-4$

тоді, $t_1=-4$ і $t_2=1$

Отже, $\log_2x=-4$ або $\log_2x=1$

За означенням логарифма можна записати: $x=2^{-4};x=\frac{1}{16}$ або $x=2$

Оскільки ОДЗ $x>0,$ то $\frac{1}{16};2$ є коренями рівняння

Відповідь: $\frac{1}{16};2$

Повторення

Інтерактивна вправа

№6.9

Розв'яжіть рівняння:

№6.11

Розв'яжіть рівняння:

№6.13

Розв'яжіть рівняння:

Домашнє завдання:

Опрацювати п. 6, виконати № 6.10; 6.12; 6.14